2023-7-3 #63 点燃星 亲手点燃目光尽头的准星

——《夜航星》（不知道怎么标作者，放个链接吧）

430 Ptz2020 Winter Day 8. Almost Algorithmic Contest A Um nik's Algorithm

结论：对于最大匹配为 \(K\) 的二分图 \(G\)，使用 dinic 增广 \(t\) 次后得到的匹配 \(M\) 满足 \(|M|\geqslant\frac t{t+1}|K|\)。

证明：考察 \(K\) 与 \(M\) 对称差，其由 \(|K|-|M|\) 条链组成，且每条链都是增广路。根据 dinic 经典性质，每条增广路内在 \(M\) 内的边数不少于 \(t\)，于是 \((|K|-|M|)t\leqslant |M|\)。

注意一次 dinic 多路增广是 \(O(m)\) 的，因此复杂度 \(O(Cm)\)，其中 \(C\) 可以取 \(20\)。实现时需要注意常数，例如可以省去源汇相关的边，也可以加入卡时。

431 P8194 [USACO22FEB] Phone Numbers P

dp 套 dp，先写出内层的判定性 dp：

\(f_i\) 可以从 \(f_{i-1},f_{i-2},f_{i-4}\) 转移过来，转移条件是这一段可以被一次性输入。

可以直接状压 \(f_i,f_{i-1},f_{i-2},f_{i-3},a_i,a_{i-1},a_{i-2}\)，但是这很浪费。改为记录集合 \(a_i,a_i\cup a_{i-1},a_i\cup a_{i-1}\cup a_{i-2},a_i\cup a_{i-1}\cup a_{i-2}\cup a_{i-3}\)，若对应 \(f\) 值为零可以直接记录一个特殊符号。

但力度不够，我们可以考虑将没有可能合法的集合同样标记为特殊符号，此时状态数大大减少，峰值据说只有 \(50\)，复杂度 \(O(n)\)。

432 P8192 [USACO22FEB] Paint by Rectangles P

看不懂题解，有人教我吗？

433 loj#3405. 「2020-2021 集训队作业」Gem Island 2

一个重要的观察是任意序列 \(p\) 的生成概率是均等的，对于序列 \(p\)，列出其生成的概率：

\[\frac{d!}{\prod (p_i-1)!}\frac{\prod(p_i-1)!}{n^{\overline d}} \]

第一部分是多重组合数，第二部分是其产生的对应系数。

前 \(r\) 大的限制不好处理，我们使用扩展 min-max 容斥——

\[\sum_{k=1}^r\sum_{T\subseteq U,T\ne\varnothing}(-1)^{|T|-k}{|T|-1\choose k-1}f(T) \]

\(f\) 即下标集合期望最小值，显然只与集合大小有关，容易写出：

\[f(T)=g(m)=[x^d](\frac{1}{1-x})^{n-m}\sum_{c\geqslant 1}(\frac{x^c}{1-x})^m\\ =\sum_{c\geqslant 1}{d-cm+n-1\choose n-1}\]

预处理所有 \(f\) 并不困难，对 \({d-i+n-1\choose n-1}\) 做 dirichlet 后缀和即可。

再推一下外面，容易得到：

\[\sum_{p=1}^n f_p{n\choose p}(-1)^p\sum_{k=1}^{\min(r,p)}{p-1\choose k-1}(-1)^k \]

后面的式子看着就很面善，\(p\leqslant r\) 时值为 \([p=1]\)，大于的情况，拆一下组合数发现两个式子相消了，得到通项 \((-1)^r{k-2\choose r-1}\)。

434 ARC163E Chmin XOR Game

打表题，素质不高。

手玩 \(a_i\in[0,3]\) 的情况发现：先手必胜当且仅当有且只有一种非零颜色。

于是将数字写成四进制，若有一位满足条件则先手必胜，容易归纳证明正确性，复杂度 \(O(n\log a)\)。

435 CFgym104417H Be Careful 2

与 421 CF1086F Forest Fires 非常像的题目。

容斥，钦定有 \(k\) 个点在矩形内造成 \((-1)^k\) 的容斥系数。

注意到若一些钦定的点构成的矩形严格内部还有钦定的点，容斥系数会抵消成 \(0\)，于是只需考虑内部没有点的。

枚举左右边界，此时只需考察 \(O(1)\) 个矩形（使用链表维护），一个矩形造成的贡献是容易 \(O(1)\) 计算的。

复杂度 \(O(k^2)\)。

436 ABC308H Make Q

容易发现尾巴一定是一个点的前三小邻居，枚举尾巴问题变为求包含一个点的最小环。

这里记录一种简单的写法——\(O(n^2)\) dijkstra，并记录每个点是起点哪条支流出来的，枚举两个源头不同的点（注意讨论起点与其邻居的情况）合并即可。

复杂度 \(O(n^3)\)。

UOJ Round #14。

uoj#192. 【UR #14】最强跳蚤：显然题，随权值异或一下。

437 uoj#193. 【UR #14】人类补完计划

剥叶子，因此算生成基环树的方案数是简单的——通过状压 dp 计算生成环的数量，然后每次钦定一个叶子集合，根据 P6295 有标号 DAG 计数 的经验，容斥系数是 \((-1)^{|S|+1}\)。

我们考虑赋予权值组合意义，来更无脑地计算答案——答案是钦定叶子只能染白色，给点集黑白染色的方案数。于是我们枚举结点集合，钦定一个子集是黑色叶子进行容斥，系数容易计算。

复杂度 \(O(3^n)\)。

438 uoj#194. 【UR #14】思考熊

类似 这篇文章 中的 uoj#191. 【集训队互测2016】Unknown 一题，我们维护点集的虚树，并提前换根 dp 出最近点相关信息。查询即向上跳到第一条虚树边，然后分讨计算答案。虚树的维护采用上面一题方法，信息合并是线性的。

也可以直接点分，线段树/平衡树维护相关信息。

复杂度 \(O(n\log^2)\)。

UOJ Round #8。

uoj#118. 【UR #8】赴京赶考：容易发现两维无关，随便算算就好了。

440 uoj#119. 【UR #8】决战圆锥曲线

感觉不难，但是干扰有点多让人想不到。

注意到只有后缀最大值可能成为答案，由于序列随机后缀单调栈大小是 \(\log\) 级别，线段树随便维护下就好了。

441 uoj#120. 【UR #8】宿命多项式

挺难的。

先将多项式转为下降幂形式，其好处是前 \(k\) 项系数只影响前 \(k\) 项点值。

假设我们依次确认了系数 \(c_0,\cdots,c_{k-1}\)，想要计算 \(c_k\) 的可能方案：

\[0\leqslant \sum_{i=0}^{k-1}c_ik^{\underline i}+c_kk!<lim_k \]

前面的系数只会导致取值区间的平移，只会影响取值数量是 \(\frac{lim_k}{k!}\) 还是其加一，而且我们只关心前面一段模 \(k!\) 的余数。

由于 \(n\leqslant6\)，看起来要枚举一些余数。由于 \(c_{0,\cdots,n}\) 上面带的系数越来越大，我们不妨枚举 \(c_0\bmod n!,c_1\bmod (n-1)!,\cdots\)。注意到通过余数容易确认上式模 \(k!\) 的结果。

但是 \(O(\prod_{i=1}^n i!)\) 并不能过，我们尝试去掉外层的 \(n!\)，即取消 \(c_0\) 的枚举。

由于 \(c_0\) 上面的系数一定是 \(1\)，其影响较好刻画。我们直接 \(2^n\) 枚举每个取模的结果计算即可，复杂度 \(O(2^n\prod_{i=1}^{n-1}i!)\)，可能要排序不过可以离线基排去掉 \(\log\)。