2023-6-16 #59 旋转吧旋转吧宇宙一样 永远都不会停止这幻想

——不鱼《清晰人类》

学考结束了！

上一篇博客因为做题断断续续的，题解没写全就先不发。

398 ABC304G Max of Medians

二分答案，判定与 P5592 美德的讲坛 类似，做一个 trie 上的二维 dp，复杂度 $O(n\log^2 n)$。

399 ABC305H Shojin

一段内的顺序一定是最后做 $a=1$ 的，其余按照 $\frac{b}{a-1}$ 排序依次做。$a=1$ 的贡献可以最后算，我们将其从序列中去除。

现在只能选择长度不超过 $O(\log V)$ 的区间，预处理每个区间的权值。猜测代价关于 $D$ 有凸性，wqs 二分即可，复杂度 $O(n\log^2 V)$。

400 CF1662J Training Camp

很难的题目，不知道怎么想出来的。

将限制转化为：不存在一个未选择的位置满足，同列比其小与同行比其大的元素均未选，或者对称情况。

一个人类智慧的建图是将每行值相邻的元素连边，每列值相邻的元素连边，限制就变成“不存在一条值依次为 $1,2,\cdots,n$ 的链”，可以证明其是充要条件。

最小割即可，由于要求只割 $n$ 个点，我们可以将一条边的边权加上一个 $>n$ 的数保证割的越少越好（至少要割 $n$ 个点）。

401 CF1184D2 Parallel Universes (Hard)

比我想象中难一点，鸽一会儿。

402 CFgym102992D Degree of Spanning Tree

咋这种题这么多人会？？？？？？？？？？？？？？？哦原来大家都会乱搞那没事了。

不合法的点至多一个，假设其为 $1$，我们令 $1$ 为根考虑调整一些边。

为了减少 $1$ 的度数我们可以执行以下操作：加入边 $(x,y)$，找到 $x$ 深度最浅的非 $1$ 祖先 $p$，断开 $(1,p)$，可以用并查集维护找祖先的过程。

我们不断执行这种操作直到 $1$ 的度数恰好为 $\lfloor\frac n2\rfloor$，此时若存在一个点不合法，其一定与 $1$ 相邻（引理：树上任意两个点 $x,y$ 满足 $deg_x+deg_y\leqslant n$，等号仅能在两点相邻时取到）。

假设这个点是 $t$，$t$ 的不合法一定是因为加入了一些边 $(x,t)$ 并且断开了 $x$ 的祖先。于是我们先将所有有不与 $1$ 相连的边加入，最后依次考虑每条连接两个 $1$ 邻居的边，并断开度数较大的邻居。

如果最后产生了不合法点 $t$，我们考察 $t$ 加入的最后一条边，另一个点度数大于等于 $deg_t=\lfloor\frac n2\rfloor$，而此时 $1$ 度数大于 $\lfloor\frac n2\rfloor$ 因此一定没有这种情况。复杂度 $O(n\log n)$。

403 CF1666H Heroes of Might

考虑对 $\sum a,hp$ 根号分治。

显然有一个 exchange argument，如果 $\sum a$ 较小，会对人数产生变化的边不多，我们提取出关键点做一遍类似 monster hunter 的 exchange argument 即可。

否则 $hp$ 较小，注意到攻击存在 $\frac{hp}{\gcd(d,hp)}$ 的周期，且如果开始取周期里的元素一定会一次性取完，我们类似快速幂地把所有周期合并即可。

exchange argument 的实现可以维护一个单调栈表示一条链的决策，且从头到尾越来越劣，注意到快速幂合并两个 $O(l)$ 的单调栈得到的单调栈长度一定也是 $O(l)$ 的。

复杂度 $O(T\sqrt T\log T)$。

404 CF1584G Eligible Segments

一个很直接的想法是枚举一端，之后每个点会给线段的斜率一个区间限制（注意到夹角区间长度不超过 $\pi$，因此求交不会导致区间增多），但是会发现对线段长度的限制与角度有关，不方便刻画。

注意到一个点到一条线段 $AB$ 的距离是到射线 $AB$ 距离与到射线 $BA$ 距离的 $\max$，因此我们不需要管线段长度，只需 $i,j$ 均在对方区间内即可，复杂度 $O(n^2)$。

计算一个点到圆切线的角度：

只需计算两点夹角 $\alpha$，两点距离 $d$，则夹角区间为 $[\alpha-\operatorname{asin}(\frac{r}{d}),\alpha+\operatorname{asin}(\frac{r}{d})]$。

405 CF1178H Stock Exchange

没怎么想，应该仔细想想能会的。

最早的时刻有可二分性，二分时刻判定。

一个结论是只会在 $0$ 与最终时刻进行交易，于是判定可以贪心地在 $0$ 时刻换到最终时刻权值最大的股票，然后检查是否能换到目标态，这个贪心是 $O(n\log n)$ 的。

最小化交易次数可以直接费用流，前后缀优化建图就好了。