2023-6-16 #59 旋转吧旋转吧宇宙一样 永远都不会停止这幻想

——不鱼《清晰人类》

学考结束了！

上一篇博客因为做题断断续续的，题解没写全就先不发。

398 ABC304G Max of Medians

二分答案，判定与 P5592 美德的讲坛 类似，做一个 trie 上的二维 dp，复杂度 \(O(n\log^2 n)\)。

399 ABC305H Shojin

一段内的顺序一定是最后做 \(a=1\) 的，其余按照 \(\frac{b}{a-1}\) 排序依次做。\(a=1\) 的贡献可以最后算，我们将其从序列中去除。

现在只能选择长度不超过 \(O(\log V)\) 的区间，预处理每个区间的权值。猜测代价关于 \(D\) 有凸性，wqs 二分即可，复杂度 \(O(n\log^2 V)\)。

400 CF1662J Training Camp

很难的题目，不知道怎么想出来的。

将限制转化为：不存在一个未选择的位置满足，同列比其小与同行比其大的元素均未选，或者对称情况。

一个人类智慧的建图是将每行值相邻的元素连边，每列值相邻的元素连边，限制就变成“不存在一条值依次为 \(1,2,\cdots,n\) 的链”，可以证明其是充要条件。

最小割即可，由于要求只割 \(n\) 个点，我们可以将一条边的边权加上一个 \(>n\) 的数保证割的越少越好（至少要割 \(n\) 个点）。

401 CF1184D2 Parallel Universes (Hard)

比我想象中难一点，鸽一会儿。

402 CFgym102992D Degree of Spanning Tree

咋这种题这么多人会？？？？？？？？？？？？？？？哦原来大家都会乱搞那没事了。

不合法的点至多一个，假设其为 \(1\)，我们令 \(1\) 为根考虑调整一些边。

为了减少 \(1\) 的度数我们可以执行以下操作：加入边 \((x,y)\)，找到 \(x\) 深度最浅的非 \(1\) 祖先 \(p\)，断开 \((1,p)\)，可以用并查集维护找祖先的过程。

我们不断执行这种操作直到 \(1\) 的度数恰好为 \(\lfloor\frac n2\rfloor\)，此时若存在一个点不合法，其一定与 \(1\) 相邻（引理：树上任意两个点 \(x,y\) 满足 \(deg_x+deg_y\leqslant n\)，等号仅能在两点相邻时取到）。

假设这个点是 \(t\)，\(t\) 的不合法一定是因为加入了一些边 \((x,t)\) 并且断开了 \(x\) 的祖先。于是我们先将所有有不与 \(1\) 相连的边加入，最后依次考虑每条连接两个 \(1\) 邻居的边，并断开度数较大的邻居。

如果最后产生了不合法点 \(t\)，我们考察 \(t\) 加入的最后一条边，另一个点度数大于等于 \(deg_t=\lfloor\frac n2\rfloor\)，而此时 \(1\) 度数大于 \(\lfloor\frac n2\rfloor\) 因此一定没有这种情况。复杂度 \(O(n\log n)\)。

403 CF1666H Heroes of Might

考虑对 \(\sum a,hp\) 根号分治。

显然有一个 exchange argument，如果 \(\sum a\) 较小，会对人数产生变化的边不多，我们提取出关键点做一遍类似 monster hunter 的 exchange argument 即可。

否则 \(hp\) 较小，注意到攻击存在 \(\frac{hp}{\gcd(d,hp)}\) 的周期，且如果开始取周期里的元素一定会一次性取完，我们类似快速幂地把所有周期合并即可。

exchange argument 的实现可以维护一个单调栈表示一条链的决策，且从头到尾越来越劣，注意到快速幂合并两个 \(O(l)\) 的单调栈得到的单调栈长度一定也是 \(O(l)\) 的。

复杂度 \(O(T\sqrt T\log T)\)。

404 CF1584G Eligible Segments

一个很直接的想法是枚举一端，之后每个点会给线段的斜率一个区间限制（注意到夹角区间长度不超过 \(\pi\)，因此求交不会导致区间增多），但是会发现对线段长度的限制与角度有关，不方便刻画。

注意到一个点到一条线段 \(AB\) 的距离是到射线 \(AB\) 距离与到射线 \(BA\) 距离的 \(\max\)，因此我们不需要管线段长度，只需 \(i,j\) 均在对方区间内即可，复杂度 \(O(n^2)\)。

计算一个点到圆切线的角度：

只需计算两点夹角 \(\alpha\)，两点距离 \(d\)，则夹角区间为 \([\alpha-\operatorname{asin}(\frac{r}{d}),\alpha+\operatorname{asin}(\frac{r}{d})]\)。

405 CF1178H Stock Exchange

没怎么想，应该仔细想想能会的。

最早的时刻有可二分性，二分时刻判定。

一个结论是只会在 \(0\) 与最终时刻进行交易，于是判定可以贪心地在 \(0\) 时刻换到最终时刻权值最大的股票，然后检查是否能换到目标态，这个贪心是 \(O(n\log n)\) 的。

最小化交易次数可以直接费用流，前后缀优化建图就好了。