浅谈一类信息的暴力重构手法
loj#6515. 「雅礼集训 2018 Day10」贪玩蓝月
背包支持类似栈的加入与撤销（由于是最优化，不太能直接删除），而题目要求维护双端队列式的操作，这是一个经典问题——双栈模拟双端队列（也叫 baka trick）。
直接给出方法：维护两个栈，两栈的拼接即为我们维护的队列，照常进行大部分操作，若某一栈在空的情况下进行 pop，我们将另一栈沿中点劈成两半，暴力重构两栈信息。
分析复杂度：令势能为两栈大小差的绝对值，修改至多影响 \(1\) 的势能，而一次重构会消耗 \(L\) 的势能，产生 \(O(L)\) 次更新，因此总更新次数是 \(O(n)\) 的。
类似题目：JAG2018 Summer Day2 D Knapsack And Queries。
一个结构类似的问题：牛客练习赛 102F 黑鸟，由于与本文主题无关，不在此赘述。
由于答案有可减性，删除只需维护两个结构，分别表示加/删的字符串，答案即两个结构答案之差。
转化后的问题是经典的二进制分组，其方法为：假设字符串集合大小为 \(S\)，我们将序列拆成 \(\operatorname{popcount}(S)\) 段，且长度分别为 \(S\) 从高到低为 \(1\) 的二进制位。此时插入操作相当于 push 一个大小为 \(1\) 的段，每次 push 结束后我们检查最靠后的两段段长是否相同，若相同则合并两段，暴力重构信息。
分析复杂度：一个数所在段段长不减，因此其只会贡献 \(\log n\) 次操作次数，总操作次数 \(O(n\log n)\)。
由于有区间询问，我们考虑将上面二进制分组的结构搬到线段树上去，每个结点只有 \(l\) 个修改，于是值域被划分段数不超过 \(2l+1\)，每一段维护一个最终线性变换。
沿用上面二进制分组的方法，合并两段即线段树上的 pushup，可以归并合并，查询用线段树结构分成 \(O(\log)\) 段区间，每段二分一下即可。
复杂度 \(O(n\log n+q\log^2n)\)。
bonus：P8525 [Ynoi2078] 《A Path Towards Autonomous Machine Intelligence》阅读报告（更新中...，将查询加速到 \(O(q\log n)\)。
类似分散层叠的过程，已经确定下来的结点的序列保存每个位置在左右儿子的来源，未确定的结点是一段右链，而修改均为后缀修改，我们维护一个从下到上的分散层叠，每个链上结点为其父亲的 \(\frac 14\) 与其左儿子的 \(\frac 12\) 的归并，于是只需一次二分以及 \(O(\log)\) 次 \(O(1)\) 的定位。
与上一题很类似，但由于有 popback 不能直接用线段树维护。
考虑每个结点在其同层后继能 pushup 时再进行 pushup，每层都有恰好一个结点查询时要拆分成左右儿子的查询，因此询问复杂度仍为 \(O(q\log^2n)\)（多一个 \(\log\) 是因为本题还要在结点凸包上二分）。
分析复杂度：每层相邻两次重构之间均需要 \(O(len)\) 次修改，重构一次是 \(O(len)\) 的。
单栈模拟队列。
我们想沿用双栈模拟队列的方法，但此时我们无法分开两个栈，不妨直接将左右两栈按某种顺序归并在一个栈中，只记录每条边属于左栈还是右栈（记作 \(0/1\)）。
左端点左移时我们需保证栈顶是 \(0\)，右端点右移则无所谓。每次左端点左移时直接 pop，据说这样是 \(O(m\sqrt m)\) 的，不过还是无法通过。
结合二进制分组的思想，我们可以每次 pop 时多 pop 一些数出来把 \(0\) 放上去。具体地，若此时有 \(c\) 个 \(0\)，我们 pop \(\operatorname{lowbit}(c)\) 个 \(0\) 出来，然后将中途弹出的 \(1\) 放下面 \(0\) 放上面。
分析复杂度：将 \(0\) 元素二进制分组，那么 \(1\) 被 pop 次数是其前面的组数，而 \(0\) 元素可以定义势能为所有出现过的组的长度和，一次 pop 会将一个势能为 \(2^k\) 的组拆成 \(2^{k-1}+2^{k-2}+\cdots+1\)，势能恰好减一。
于是复杂度 \(O(m\log m)\)。
