2022-12-22 #18 向永恒开战 追寻我—— 一如此刻 十指紧握

——校长《遗忘山丘》

这首歌应该是我初二的时候接触到的，听完后尝试把奇爱人生系列推给同学，失败了（

当时好像和与我们高两届的学长一起打模拟赛，有一次打北大附中的题，看到了一道题叫“彼岸蔷薇”。

向永恒开战 追寻我——
一如此刻 十指紧握
将太阳射落 献给我——
请记得我即神佛

得知了这道题是 EI 供的后非常开心，这么厉害的大佬居然也听校长的歌！！

考完还跟旁边的学长叽里呱啦了一下，虽然他好像没鸟我😔。

现在竟然可以和以前仰慕已久的 EI 吹水，令人感慨。

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90 ARC138F KD Tree

比较简单？可是为啥我不会捏。

dp，四维状态记下当前处理的矩形。

为了不算重，不妨对于一个操作序列强行分配一个字典序，把一次操作看成一个字符，操作序列就是操作树的先序遍历结果，字符大小关系为 $x(1)\leqslant y(1)\leqslant x(2)\leqslant\cdots\leqslant x(k)\leqslant y(k)$。（$x(p)$ 表示使用集合内第 $p$ 大的 $x$ 坐标划分）

枚举目前是哪个操作，枚举一个字典序较小的操作嗯容斥就好了。

记忆化搜索即可，复杂度 $O(n^6)$。

91 uoj#704. 马超战潼关

$O(2^nn^2)$ 的算法很容易得到（枚举左边每个点到源的边割不割，右边相邻不割的点大于一的点只能割与汇的边去，其余任意且互不影响）但是有一种模型更便于思考：

找出图的一组最大匹配，那么每条匹配边 $(x,y)$ 一定满足 $(s,x),(x,y),(y,t)$ 恰好割一条。

考虑每条非匹配边 $(x,y)$。

• 若 $x$ 是匹配点且 $y$ 是匹配点：$x$ 割源或 $y$ 割汇；
• 否则若 $x$ 是匹配点：$x$ 割源；
• 否则 $y$ 是匹配点，$y$ 割汇。

将一对匹配边看成一个点，点权 $0,1,2$ 分别表示割三种边，将非匹配边的第一种情况让 $x$ 对应匹配向 $y$ 对应匹配连一条有向边。

发现这张新图中，一个环必须全 $0$ 或者全 $2$，于是我们可以缩点，得到一张 DAG。

得到拓扑序，考虑 meet in middle，枚举前一半每个结点填 $0,1,2$，后一半就会限制每个点是否填 $2$，预处理一下，高维前缀和可以做到 $O(3^{\frac n2}n^2)$。

事实上只需要枚举每个点是否填 $0$，对后面的限制不变，那么问题变为：图中填 $0$ 位置集合固定，其他点填数方案数。（后一半无非是做一个对称的问题，然后高维前缀和）

内部的方案数只需找出非 $0$ 位置的导出子图，没有入度的点可以填 $1$，而且互不影响，答案就是二的幂次。

复杂度为 $O(2^{\frac n2}n^2)$。

92 uoj#705. 黄忠庆功宴

一个公差为 $k$ 的等差数列，其一定能写成 $k^{-1}\bmod p$ 个值域连续段。（走 $k^{-1}\bmod p$ 步就会在值域上向前 $1$ 步）

一个结论，对于任意 $k$，都可以写出一对 $(x,y)$ 满足 $k\equiv \frac xy\pmod p,x\leqslant \sqrt p,y\leqslant \sqrt p$。

证明可以通过鸽巢原理，考察生成的 $\{x-yk\}$ 集合，一旦有相同的则 $k\equiv\frac{x_1-x_2}{y_1-y_2}\pmod p$。（如果 $y_1=y_2$，那么此时一定有 $x_1=x_2$）

那么我们可以对于每个 $x$ 令 $b_i=a_{ix\bmod p}$，在这个数组上求 $y$ 个连续段的和就好了。

复杂度 $O(n\sqrt n)$。

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hzr 好强。