2022-12-7 #5 明白你不愿放弃的爱 现在沿途的风景依然精彩

——校长《明日DISCO》

今天看了看 Stern-Brocot 树，发现啥都不记得了。

性质：二叉搜索树，最简性、唯一性、覆盖性。

$(a,b),(c,d)$ 以某种方式相邻的充要条件是 $|ad-bc|=1$。

从根结点到结点 $\frac ab$ 只需跳跃 $O(\log \max\{a,b\})$ 条相同方向的链。

注意一棵子树 $(a,b),(c,d)$ 到左、右儿子的移动是线性变换，可以用矩阵刻画。（结合上面的性质，跳跃相同方向的链可以矩阵快速幂）

还有一种理解是把分数理解成平面向量，分数值即为斜率。

双曲线下整点计数 DIVCNT1。

P8058 [BalkanOI2003] Farey 序列

21 ABC273Ex Inv(0,1)ving Insert(1,0)n

只需建出 $n$ 个分数在 SBT 上的虚树，然后统计每个点被统计的次数，这个可以使用启发式合并解决。

递归建立虚树，若当前点是一个分叉点，直接递归左右，否则要跳一段相同方向的链，类似解一个 $\frac{a+kc}{b+kd}>p$ 的 $k$ 最大值，$O(1)$ 计算即可。

22 ARC123F Insert Addition

尝试将其向 SBT 上靠，我们用一个数对 $(u,v)$ 表示一个整数 $p=au+bv$，这样生成的序列就是 SBT 的形式了。

我们在 SBT 上跳，先找到 $L$ 对应的位置，然后直接 dfs 就可以输出剩下数了，由于树深度不超过 $n$，我们只会遍历到最多 $n+R-L+1$ 个数。

问题在于计算一棵子树 $(p,q)$ 的大小，我们使用莫比乌斯反演：

$$\sum_{d=1}^n\mu(d)\sum_{i=1}^{\lfloor\frac{n}{d}\rfloor}\lfloor\frac{\lfloor\frac nd\rfloor-ip}{q}\rfloor$$

容易 $O(n\log n)$ 计算，也可以数论分块+类欧几里得 $O(\sqrt n\log n)$。

注意跳相同方向的链需要倍增地跳，复杂度 $O(n+\sqrt n\log^3 n)$。

23 ARC149F Rational Number System

建立所有数的 trie 树，与上一题类似地在 trie 树上遍历。

二分走哪个儿子，问题转化为 $[l,r]$ 子树大小之和，这个枚举一下深度就做完了。

24 P8258 [CTS2022] 独立集问题

注意到某个位置操作了之后，我们可以给它再操作一次来取反。于是问题可以刻画成：操作一个点，就将它的点权减它附近的点的点权和的绝对值（由于答案是求最大值，这个绝对值可以拆）加入答案，并把操作到的点的点权归零。

这样就可以直接 dp 了，细节较多。

24 P8860 动态图连通性

先离线，原问题等价于一个最短路，其中第 $i$ 次操作被删除的边赋权 $2^{q-i+1}$（有多次操作只考虑第一次），其余赋权 $0$。

直接 dijkstra，使用主席树维护即可做到 $O(n\log n)$，但空间不优秀，也不优美。（类似 CF464E）

事实上这题是比 CF464E 弱的，因为非零边权互不相同，也就是说不会出现“进位”的情况。

主席树的作用主要是比较 $dis_{s_1}+w_1$ 与 $dis_{s_2}+w_2$ 的大小，不妨令 $dis_{s_1}<dis_{s_2}$，那么 $dis_{s_1}+w_1>dis_{s_2}$。（否则我们都不需要考虑 $s_2$）

于是 $w_1$ 一定是加在了 $lcp(dis_{s_1},dis_{s_2})$ 中的某个 $0$ 上，那么若 $w_2\leqslant w_1$，则 $dis_{s_2}+w_2$ 更小，否则 $dis_{s_1}+w_1$ 更小，也就是我们只需比较最后一步的边权。（若边权相同，此时 $d_i=0$，我们可以任意处理）

于是做到了线性空间，以及极低的实现难度。

25 ABC279Ex Sum of Prod of Min

这个 $\min$ 对应的 GF 可以直接列出：（一个差分状物）

$$F_t(x)=\sum_{i}\min(t,i)x^i=\frac{x-x^{t+1}}{(1-x)^2}$$

答案即：

$$[x^m]\prod_{i=1}^n\frac{x(1-x^i)}{(1-x)^2}=[x^{m-n}](1-x)^{-2n}\prod_{i=1}^n(1-x^i)$$

由于 $m-n\leqslant n$，所以求积式的上界可以忽略，此时我们应用五边形数定理：

$$[x^{m-n}](1-x)^{-2n}\sum_k(-1)^kx^{\frac{k(3k\pm 1)}{2}}$$

右边只有 $O(\sqrt n)$ 项，枚举一下，左边 $O(1)$ 提取系数就好了。

26 ABC275Ex Monster

建出笛卡尔树，一次操作只会操作笛卡尔树的一棵子树。

令 $F_u(x)$ 表示 $u$ 子树中，操作到最大值为 $x$ 的最小代价：（特判掉叶子）

$$F_u(x)=\min_{y\geqslant \max(A_u,x)}\{B_u(y-x)+\sum_{v\in son(u)}B_v(y)\}$$

归纳可知 $F_u$ 凸，使用 slope trick，仅维护斜率变化点以及变化量。

先将儿子的 $F$ 加起来，然后分阶段完成转移：

$$F_u(x)\leftarrow F_u(x)+B_ux\\F_u(x)\leftarrow \min_{y\geqslant \max(A_u,x)} F_u(y)\\F_u(x)\leftarrow F_u(x)-B_ux$$

第一、三步只需插入斜率变化点，第二步将 $<A_u$ 的斜率变化点、以及斜率小于 $0$ 的一段前缀拍平。

使用左偏树维护即可做到 $O(n\log n)$。

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【星尘infinity】零重祈愿

草，大意了，下午晚上都在摆。

27 P7605 [THUPC2021] 小 E 爱消除

比较简单，列出区间 dp，讨论左端点与哪个位置匹配，这样转化为“$[l_1,r_1],[l_2,r_2]$ 这些球消掉需要的最小栈大小”，这也可以区间 dp 解决。

复杂度是 $O(n^6)$ 的，但是注意到很多情况都不合法，出题人表示其有 $\frac 1{720}$ 的常数。

28 loj#6610. applese 爱数图

考虑将整张图分解成 $k$ 个点双 $S_{1,2,\cdots,k}$，记 $G$ 的生成树个数为 $F(G)$，有：

$$F(G)=\prod_{i=1}^kF(S_i)$$

简单地考察某一个点双的 $F$ 值：

• $|E|=|V|$，此时一定为圈，$F(G)=|V|$。
• $|E|=|V|+1$，此时一定为圈上任选两个点连一条路径，此时有两个三度点，记三条路径长度分别为 $a,b,c$，那么 $F(G)=ab+bc+ac\geqslant 3n-4$。（$a=1,b=2,c=n-2$）
• $|E|>|V|+1$：这个我还不会证，反正其 $F$ 值也不少于 $3n-4$。

因此，一个非平凡点双（$|V|>1$）的贡献一定 $\geqslant 3$，因此最多有两个非平凡点双。

那么开始分讨：

不存在非平凡点双：此时是一棵无根树，$n^{n-2}$。

一个非平凡点双：

• 圈：直接计算圆排列，$\frac{(n-1)!}{2}$。
• 非圈：此时 $22\geqslant F\geqslant 3n-4$，那么 $n\leqslant 8$，暴力枚举所有不超过 $8$ 个点的无向图即可。

得到这个点双后，我们只需与其余的点组合起来，通过 prufer 序列“图联通方案数公式”，贡献即 $n^{n-|V|-1}|V|$，带上一个组合数选出这些点。

两个非平凡点双：

我们可以直接枚举两个点双，计算组合在一起的方案数。观察到两个点至多有一个公共点，分讨计算即可。

复杂度其实不是很重要，大概是 $O(k^2\log n+k^4)$。

29 P5538 【XR-3】Namid[A]me

比较套路？

首先注意由于模数较小，可以通过预处理离散对数做到 $O(1)$ 快速幂。

一个直接的想法是点分治，根据经典结论，一条链上，左端点到任意点的 $f$ 值只有 $\log a$ 种。那么以分治重心为一端的 $f$ 值只有 $O(d\log a)$ 种。

不妨考虑暴力枚举两种 $f$ 值拼起来，这样的复杂度是 $O(\min((d\log a)^2,n^2))\leqslant O(\sqrt{(nd\log a)^2})=O(nd\log a)$ 的。

事实上你回过头看，这个点分治的结构是毫无必要的，我们只是根据习惯使用了这一手段，把每条路径在 lca 处计算也是等价的。

另一种处理方式是将每个叶子依次设为根，根据经典结论，任意路径都会至少一次作为直链出现。尝试在直链的底端统计路径，即统计“在以 $d_i$ 为根时是直链，以 $d_{1\cdots i-1}$ 为根时不是直链”的路径。

假设路径 $u\rightarrow v$ 被统计到了（$u$ 是祖先，令 $w$ 为 $u$ 到 $v$ 路径上第二个点），那么 $d_{1\cdots i-1}$ 一定都在 $w$ 的子树内。于是我们对 $u$ 的限制仅为“深度大于等于某个值”。转化为直链后使用上面的结论可以直接 $O(nd\log a)$ 解决。