CF859G Circle of Numbers 解题报告

CF859G Circle of Numbers 解题报告：

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题意

有一个长度为 \(n\) 的圆环，每个整点位置都有一个整数 \(\in\{0,1\}\)，你可以选择一个 \(c\mid n\) 以及一个 \(d<c\)，将所有 \(kc+d\) 位置的数同时加、减一个实数 \(r\)，求是否可以将所有数字归零。

\(1\leqslant n\leqslant 10^5\)。

分析

没做过这种类型的题。。。也不太会分圆多项式那一套理论。

首先将圆环的状态（从 \(0\) 开始）写成生成函数 \(F(x)\)，那么一次操作就是将 \(F(x)\) 加上 \(fx^c\frac{1-x^n}{1-x^d}\)。

考虑多项式环上的裴蜀定理，那么合法当且仅当 \(\gcd_{d\mid n}\{\frac{1-x^n}{1-x^d}\}\mid F(x)\)。

利用单位根展开：

\[\frac{1-x^n}{1-x^d}=\frac{\prod_{k=0}^{n-1}(x-\omega_n^k)}{\prod_{k=0}^{d-1}(x-\omega_d^k)}=\prod_{k=0}^{n-1}[\frac{n}{d}\not\mid k](x-\omega_n^k) \]

\[P(x)=\gcd_{d\mid n}\{\frac{1-x^n}{1-x^d}\}=\prod_{k=0}^{n-1}[\gcd(k,n)=1](x-\omega_n^k) \]

互素的条件很难处理，于是考虑其补：\(Q(x)=\prod_{k=0}^{n-1}[\gcd(k,n)>1](x-\omega_n^k)\)，由于 \(P(x)Q(x)=x^n-1\)，所以若 \(P(x)\mid F(x)\) 则有 \(x^n-1\mid F(x)Q(x)\)，这就是一个循环卷积。

与 \(Q(x)\) 卷积仍然很麻烦，但我们只需利用 \(Q(x)\) 不包含 \([\gcd(k,n)=1](x-\omega_n^k)\) 的性质，写出 \(R(x)=\prod_{p\in\text{Prime},p\mid n}(x^{\frac np}-1)\)。判别方式不变，而卷积复杂度降至 \(O(n\omega(n))\)，可以通过。

代码

#include<stdio.h>
#include<iostream>
using namespace std;
const int maxn=100005;
int n,ans;
int f[maxn],g[maxn];
string s;
int main(){
	scanf("%d",&n),cin>>s;
	for(int i=0;i<n;i++)
		f[i]=s[i]-48;
	for(int v=n,p=2;p<=v;p++)
		if(v%p==0){
			while(v%p==0)
				v/=p;
			for(int i=0;i<n;i++)
				g[i]=f[(i-n/p+n)%n]-f[i];
			for(int i=0;i<n;i++)
				f[i]=g[i];
		}
	for(int i=0;i<n;i++)
		ans|=f[i];
	puts(ans==0? "YES":"NO");
	return 0;
}