P6020 [Ynoi2010] Exponential tree 解题报告

P6020 [Ynoi2010] Exponential tree 解题报告：

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感觉还是水平不太行，写的很感性。

题意

给定 \(n,k\)，构造矩阵满足：

1. \(a_{i,i}=a_{i,i+1}=1\)；
2. 对于 \(i>j\)，\(a_{i,j}=0\)；
3. 若 \(j>i+1\) 且 \(a_{i,j}=1\)，则存在 \(i<t<j\) 满足 \(a_{i,t}=a_{t,j}=1\)；
4. 矩阵 \(A^k\) 需满足对于所有 \(i\leqslant j\)，\((i,j)\) 非零。

\(1900\leqslant n\leqslant 2000\)，\(2\leqslant k\leqslant 15\)，你构造的矩阵 \(1\) 个数 \(m\) 需要服从一系列约束，形如 \(m-(2n-1)\leqslant \lambda n\)。

分析

之前学习过相关知识，结果又不会了，属实是菜。

记 \(F(k,n)\) 为在 \((k,n)\) 约束下我们做到的 \(m\) 大小。

赋予矩阵一个组合意义：我们初始拥有 \(n-1\) 个区间 \([i,i+1]\)，需要预处理若干个区间，使得预处理的区间都可以表示成两个更小的预处理区间的无交并，且所有的区间都可以表示成不超过 \(k\) 个预处理的区间的无交并。

\(k=2\) 时是经典的猫树算法，这里不赘述，可以做到 \(F(2,n)=O(n\log n)\)，事实上这也是这个子问题的下界。

\(k=3\) 时是经典的 sqrt-tree 算法，做法大概是对序列分块，预处理所有块前缀、后缀区间，以及所有整块区间，块内的区间作为子问题递归处理，得到 \(F(3,n)=O(n\log\log n)\)。

\(k>3\) 时，想做到更优，我们需要对整块区间也作为子问题处理。

具体地，我们可以通过 dp 找出最优的分段点：（令 \(a_{1,2,\cdots,p}\) 为每一个块的大小）

\[F(k,n)=\min_{a_{1,2,\cdots p}}(a_1-1)+\sum_{i=2}^{p-1}(2a_i-3)+(a_m-1)\\+F(k-2,p-2)+\sum_{i=1}^p F(k,a_i-[i>1]-[i<p]) \]

直接求复杂度太劣，剪一剪枝大概就能过了。

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稍微提一句，当 \(k=O(\alpha(n))\) 时，我们可以做到 \(F(k,n)=O(n\alpha(n))\)（应该是下界？），做法大概是：

建立 \(t\) 层数据结构，其中第 \(i\) 层数据结构块间用第 \(i-1\) 层数据结构维护（我们钦定第 \(0\) 层的数据结构为猫树），块内递归下去。

令 \(T(t,n)\) 为第 \(t\) 层数据结构的深度，我们第 \(i\) 层数据结构按照 \(T(i-1,n)\) 分块，于是 \(T(1,n)=\log^*n\)，\(T(2,n)\) 就是 \(n\) 不断取 \(\log^*\) 直到变成 \(O(1)\) 的次数。那么 \(t\) 就是 \(n\) 不断变成 \(T(t-1,n)\) 变成 \(O(1)\) 的次数，此时 \(t=\alpha(n)\)，为反阿克曼函数，于是得到 \(F(k,n)=O(n\alpha(n))\)。

代码