2022-6-19 #1 CF1270I & CF1637H

每天都要能选出至少两道有意义的题，这样才算没有摆。

本地记录的话容易鸽掉，就放博客上了。（我博客是不是没啥人看啊）

完了，下午晚上打 CF/AT 去了，今天摆了呜呜。

md，等一下再更。

001 CF1270I Xor on Figures

我们定义两个矩阵 $A,B$ 的异或卷积 $C$ 为：

$$C_{a,b}=\oplus_{(u+i)\bmod 2^k=a}\oplus_{(v+j)\bmod 2^k=b}A_{u,v}B_{i,j}$$

我们发现将所有操作放到一个矩阵 $P$ 上，再令关键位置形成的矩阵为 $Q$，那么我们需要 $P\times Q=A$。

可以证明，在异或卷积下，矩阵 $A$ 存在逆元，其值为 $A^{2^k-1}$。

那么我们就是要求 $A\times P^{2^k-1}$，但矩阵快速幂的时候暴力实现异或卷积肯定过不了。

发现 $P^2$ 只有 $(2x_i\bmod 2^k,2y_i\bmod 2^k)$ 有值，因为 $((x _i+x_j)\bmod 2^k,(y_i+y_j)\bmod 2^k)$ 会被 $(x_i,y_i),(x_j,y_j)$ 计算一次，$(x_j,y_j),(x_i,y_i)$ 计算一次，抵消了。

于是 $P^{2^l}$ 也只有 $O(t)$ 个位置有值，我们异或卷积的时候取这些位置出来计算即可，复杂度 $O(4^kkt)$。

#include<stdio.h>
const int maxn=1<<9;
int n,k,ans,m;
struct matrix{
	unsigned long long a[maxn][maxn];
	inline unsigned long long* operator [](const int &x){
		return a[x];
	}
	matrix operator *(matrix p){
		matrix res;
		for(int i=0;i<n;i++)
			for(int j=0;j<n;j++)
				res[i][j]=0;
		for(int i=0;i<n;i++)
			for(int j=0;j<n;j++)
				if(p[i][j])
					for(int u=0;u<n;u++)
						for(int v=0;v<n;v++)
							res[(u+i)%n][(v+j)%n]^=p[i][j]*a[u][v];
		return res;
	}
}A,B;
int main(){
	scanf("%d",&k),n=1<<k;
	for(int i=0;i<n;i++)
		for(int j=0;j<n;j++)
			scanf("%llu",&A[i][j]);
	scanf("%d",&m);
	for(int i=1,x,y;i<=m;i++)
		scanf("%d%d",&x,&y),B[x-1][y-1]=1;
	for(int i=0;i<k;i++)
		A=A*B,B=B*B;
	for(int i=0;i<n;i++)
		for(int j=0;j<n;j++)
			ans+=(A[i][j]!=0);
	printf("%d\n",ans);
	return 0;
}

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