P8332 [ZJOI2022] 面条 解题报告

P8332 [ZJOI2022] 面条 解题报告：

更好的阅读体验

题意

定义序列 $a$ 上的一次操作为：

$$\forall_{1\leqslant i\leqslant n} b_i\leftarrow a_i+a_{n-i+1}\\\forall_{1\leqslant i\leqslant n}a_i\leftarrow \frac{b_{\lceil\frac{i}{2}\rceil}}{2}$$

给定序列 $a$ 以及一个位置 $x$，$q$ 次询问，每次求 $a$ 应用 $k_i$ 次操作后，$a_x$ 的值是多少。

分析

巨大厉害题，搬运一下官方题解！

可能写的有点口胡，补完代码之后来补充一下。

将最后答案除以 $2^k$，那么我们第二个操作就不需要要除二了。

我们手玩一下操作过程：

$$abcdefgh\cdots z\rightarrow aabbccdd\cdots zz\rightarrow\cdots (a\times 2^w)(b\times 2^w)\cdots(z\times 2^w)\rightarrow (a\times 2^{t+1})(b\times 2^{t+1})\cdots(z\times 2^t)$$

（其中一个字母在不同阶段不代表相同数字）

也就是说，令 $t$ 为 $n$ 最低非零位，那么我们应用 $t+1$ 次操作后，会变成很多个长度为 $2^{t+1}$ 的相同段，最后接一个长度为 $2^t$ 的相同段。

显然这个过程的操作与询问都可以在 $O(n\log n)$ 内暴力模拟。

将长度为 $2^t$ 的相同段缩成一个字母，令新的序列为 $c_1,c_2\cdots,c_m$。考察接下来的操作造成的影响：

$$c_1,c_2,\cdots,c_m\rightarrow c_1+c_m,c_1+c_{m-1},c_2+c_{m-1},c_2+c_{m-2},\cdots$$

令差分数组为 $d$，那么操作就为：

$$d_1,d_2,\cdots,d_{m-1}\rightarrow -d_{m-1},d_1,-d_{m-2},\cdots$$

那么，一次操作就是 $d_1,d_2,\cdots d_{m-1},-d_1,-d_2,\cdots,-d_{m-1}$ 的一次置换，令这个置换为 $g$，我们询问的答案就是：

$$C+\sum_{i=1}^{m-1}[g^k(i)<x]d_i=C+\sum_{i=1}^{x-1}d_{g^{-k}(i)}$$

$C$ 可以简单计算出，后面这个式子考虑拆出所有置换环，每个置换环（设大小为 $c$）通过一次卷积求出所有 $k\in[0,c)$ 的答案。

将大小相同的置换环的答案加到一起，每次询问只需要枚举 $O(\sqrt n)$ 个置换环将答案加起来即可，复杂度 $O(n\log n+q\sqrt n)$，不能通过。

继续挖掘这个置换 $g$ 的性质（$g^{-1}$ 与 $g$ 性质相同），手玩可以发现所有置换环大小都是 $2$ 在 $2(m-1)$ 下的阶 $r$ 的因数。

也就是答案关于 $r$ 是循环的，那么我们将大小相同的置换环加和之后，直接维护 $k\in[0,r)$ 的答案就好了。

复杂度 $O(nd(n)+q)$，可以通过。