P8329 [ZJOI2022] 树 解题报告

P8329 [ZJOI2022] 树 解题报告：

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题意

生成两棵 $n$ 个结点的有根树 $S,T$，其中 $S$ 内要求父亲编号小于儿子编号，$T$ 内要求儿子编号小于父亲编号，求两棵树叶子节点（不包括根）互补的方案数。对于 $n\in[2,N]$ 求出答案。

$1\leqslant N\leqslant 500$。

分析

我的计数力还不高啊/ll。

枚举第一棵树的叶子集合，第二棵树的叶子集合为恰好，容斥成钦定：（$f_1(S)$ 为第一棵树叶子集合为 $S$ 的方案数，$f_2(S)$ 为第二棵树非叶子集合为 $S$ 的方案数）

$$\sum_Sf_1(S)\sum_{T}(-1)^{|S|-|T|}f_2(T)=\sum_S(-1)^{|S|}f_1(S)\sum_{T}(-1)^{|T|}f_2(T)$$

考虑对这个式子直接 dp，令 $f_{k,i,j}$ 表示 dp 到了编号 $k$ 的结点，目前前面钦定了 $i$ 个非叶子结点，后面提前钦定了 $j$ 个非叶子节点的容斥系数和。

分讨列出转移方程，大概就是枚举结点分配给哪棵树，然后再确定另一棵树是否钦定它来容斥（很神秘）：

• 这个结点分配为第一棵树的叶子，第二棵树钦定：$f_{k+1,x,y}\leftarrow -xyf_{k,x,y}$；
• 这个结点分配为第一棵树的叶子，第二棵树不钦定：$f_{k+1,x,y}\leftarrow xyf_{k,x,y+1}$；
• 这个结点分配为第二棵树的叶子，第一棵树钦定：$f_{k+1,x,y}\leftarrow -xyf_{k,x,y}$；
• 这个结点分配为第二棵树的叶子，第一棵树不钦定：$f_{k+1,x+1,y}\leftarrow xyf_{k,x,y}$。

复杂度 $O(n^3)$。

代码

数据出了就补。