P8261 [CTS2022] 袜子 解题报告
P8261 [CTS2022] 袜子 解题报告：
题意
给定 \(n\) 个带颜色的点，\(m\) 次查询 \(Ax_i+By_i+C<0,Ax_j+By_j+C<0,c_i=c_j\) 的点对 \((i,j)\) 数量。
\(1\leqslant n\leqslant 5\times 10^4,1\leqslant m\leqslant 5\times 10^5\)
分析
显然题意可以转化为数一个点下方每种颜色直线数量平方和。
如果只数直线数量是等价于 #553. 【UNR #4】己酸集合 的，做法是：
对序列分块，然后每个块算出直线两两之间的交点，将交点和询问都按照 \(x\) 下标排序然后离线双指针，利用交点维护一下直线之间的顺序，这样询问就可以直接二分了。
令块长为 \(B\)，复杂度是 \(O(\frac{n}{B}(B^2\log B^2+q\log B))\) 的。
那么考虑根号分治一下，每个大颜色集合都可以直接数直线数量然后平方。（块数还是 \(O(\frac{n}{B})\) 的）
小颜色集合由于可以利用的性质是直线数量很少，所以我们可以很方便地维护小块直线之间的顺序。
我们考虑将贡献拆成被数到的直线数量，加上二倍被数到的直线在颜色中的 rk 之和，那么就可以类似地对直线交点和询问排序，每条直线在颜色中的 rk 可以很方便的维护，但是直线全局的 rk 不能直接维护。
由于每个颜色出现次数都 \(\leqslant B\)，很容易将所有颜色分成块长在 \([B,2B)\) 内的块，其中每个颜色只在一个块内出现。
那么直接维护直线块内 rk 以及一个树状数组保存 rk 前缀和，询问枚举块直接二分查询即可。
复杂度还是 \(O(\frac{n}{B}(B^2\log B^2+q\log B))\)。
令 \(B=\sqrt q\) 就可以做到 \(O(n\sqrt q\log q+q\log q)\) 的复杂度了。
代码
咕了，有时间写。
