P6631 [ZJOI2020] 序列 解题报告

P6631 [ZJOI2020] 序列 解题报告：

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题意

给定一个序列 $a$，你每次可以选择三个操作中的一个：①区间减一②区间奇数下标减一③区间偶数下标减一。

求至少要多少次操作才能让序列变成全 $0$。

$1\leqslant n\leqslant 10^5$。

分析

搞了好多天的毒瘤题，写篇题解帮助一下我这样的萌新。

我们记操作集合为 $S$（注意不是三种操作，而是每个区间的每种操作都在集合内），再记 $x_t$ 为操作 $t$ 的使用次数，于是列出线性规划式：

$$\text{minimize }\sum_{t\in S}x_t\\ \text{s.t. }\sum_{t\ni i}x_t=a_i\\ x_t\geqslant 0$$

改写一下：

$$\text{minimize }\sum_{t\in S}x_t\\ \text{s.t. }\sum_{t\ni i}x_t\geqslant a_i\\ -\sum_{t\ni i}x_t\geqslant -a_i\\ x_t\geqslant 0$$

由于上面的变量太多限制太少，然后对上面的问题对偶（令 $p_i,q_i,r_i$ 分别为二、三、四行的对偶变量）

$$\text{maximize }\sum a_i(p_i-q_i)\\ \sum_{i\in S}(p_i-q_i)+r_t=1\\ p_i,q_i,r_i\geqslant 0$$

我们发现可以直接去掉变量 $r_t$，同时令 $b_i=p_i-q_i$，那么得到：

$$\text{maximize }\sum a_ib_i\\ \sum_{i\in S}b_i\leqslant 1\\ $$

那么我们就是给每个位置赋一个权值 $b_i$，使得每一个操作的权值和不超过 $1$。

可以通过调整法证明 $b_i$ 为整数，那么

代码