【外企面试】求一个链表中环的入口【强势证明】

此题没有代码，是一道面试题。题目很好理解，有个链表，先判断是否有环，如果有环则求出环的入口。

这道题跟好几位offer收割机讨论过，基本都是已知leetcode或哪里的方法，证明该方法的正确性。

我和我家阳哥，试图证明，策略是可以推导出来的。证明如下：

首先，要判断一个链表是否有环，机智的做法是快慢指针，令快指针fast每次走两步，慢指针slow每次走一步，那么fast如果能和slow相遇，就证明，链表中有环。

那么有环之后，如何寻找环的入口呢？

（1）首先，我们定义几个变量：

• ListHead表示链表头
• RingEntry表示环入口指针
• x表示ListHead与RingEntry之间的距离（两个相邻节点间的距离为1）
• pos表示slow第一次走到RingEntry时，fast所在位置与RingEntry之间的距离，假设入环后顺时针走
• y表示slow与fast的相遇点与RingEntry之间的距离
• r表示环的长度（环中节点个数-1）

（2）其次，我们需要证明一个结论---slow入环后，一圈之内必定与fast相遇

         这个结论其实很好证明，我们用反证法。假设slow走了一圈又回到了RingEntry，这一过程中，都没与fast相遇。当slow回到RingEntry时，fast必定在距RingEntry为pos的位置。这一状态与slow刚入环时的状态一样，在这一圈中slow与fast都没有相遇，那么之后只会不断重复之前的路径，永不会相遇。

        因为我们坚信 有环的话，slow和fast必相遇的，因而上述假设不成立，slow入环后，一圈之内必定与fast相遇。

（3）有了（2）的结论，就可以得出下列等式：

• slow首次到达RingEntry时，走了x步，此时fast应该走了2x的距离。又fast位于距离RingEntry为pos，那么：

　　　2x = x + k * r + pos（k表示fast在环中已经绕的圈数） ------>  　　pos = x - k * r

• slow可以看做是比fast快了 r - pos步，又slow与fast相遇时，slow走了y步，因而有：

　　　2y - y = r - pos ------> y = r - pos

• 从相遇点开始，slow至少再向前 r - y 步就可以到达环入口了，那么

　　   r - y = r - r + pos = pos = x - k * r ------> r - y + k * r = x

         之所以要把k * r移到 等号 的左边，是因为 k * r 代表着绕着环 k 圈，到达的位置还是 r - y步后到达的位置。

根据最后一个等式，我们就可以看出，slow再向前走 x 步 一定会到RingEntry。

所以寻找环入口的方式为：相遇点后，slow 从相遇点开始，tmp从 ListHead 开始，同时每次走一步，两个相遇点就是RingEntry！