二分

合集 - 2023普及组知识点(5)

1.快速排序2023-07-192.背包问题基础模型全解2023-08-133.背包问题变式总结2023-08-13

4.二分2023-08-13

5.高精度加减乘除小数详解2023-08-15

收起

二分

介绍

相信大家小时候都玩过猜数字的游戏，一般来说，大家都是从中间开始猜，比如猜0~100之间的整数，先猜50，小了再猜75，大了再猜35。我们在玩这个游戏时就使用了二分这个思想，在算法竞赛中，我们对具有单调性的问题便可以使用二分，是一种非常好用的算法，但是二分里面的坑也非常多，稍有不慎便会漏掉答案或陷入死循环

整数二分

此为二分的示意图，我们在对问题进行求解的时候，先分析问题中有什么性质可以利用，根据这个性质找两个区间的边界，使得左边不满足或满足这个性质，右边满足或不满足这个性质，注意两个区间并没有交点（一个点不可能既满足又不满足）

根据区间究竟满足还是不满足，二分也有两个模板（一种 $mid$ 落在左区间，另一种 $mid$ 落在右区间）：

第一种模型

这种模型 $mid=(l+r)/2$，这里无需考虑边界。

int bsearch_1(int l, int r)
{
    while (l < r)
    {
        int mid = l + r >> 1;
        if (check(mid)) r = mid;    // check()判断mid是否满足性质
        else l = mid + 1;
    }
    return l;
}

判断 $mid$ 是否满足性质：
如果满足说明答案包括 $mid$ $r=mid$
如果不满足说明答案包括 $mid$ $l=mid+1$

第二种模型

这种模型的 $mid=(l+r+1)/2$ 。这里因为计算机会自动去尾，例如当 $l=0,r=1$ 时，如果不加一 $mid$ 便会变成0，$l=mid$ ，便会陷入死循环

int bsearch_2(int l, int r)
{
    while (l < r)
    {
        int mid = l + r + 1 >> 1;
        if (check(mid)) l = mid;
        else r = mid - 1;
    }
    return l;
}

判断 $mid$ 是否满足性质：
如果满足说明答案包括 $mid$ $r=mid$
如果不满足说明答案不包括 $mid$ $l=mid+1$

浮点数二分

浮点数二分相对简单，不像整数二分需要考虑边界问题

精度问题

两种方式：

• 设置一个精度 $eps$ 循环条件是 $r-l>eps$ 保留 $k$ 位小数时 $eps={10}^{-}$${}^{(}$${}^k$${}^{+}$${}^2$${}^{)}$
• 循环100次

每次根据 $mid$ 确定是 $r=mid$ $l=mid$ 还是 $l=mid$ $r=mid$ 就行了

如何使用

关于无解的判断

$(l+r+1)/2$ $mid$ 取不到 $l$，因为 $l=mid+1$ ，当 $l=r$ 就退出，假设 $mid$ 能取到 $r$ ，那么 $l=r+1$，与循环退出的条件不符

$(l+r)/2$ $mid$ 取不到 $r$，原因同上

两种判断方法：
因为二分保证有解，在循环结束时一定停在一个点上，所以衍生出了两种方法：
1、看这一个点是否满足要求，不满足就无解

2、$(l+r+1)/2$ 将原本 $[1,n]$ 的区间扩大到 $[1,n+1]$，如果最后停在了越界的下标上说明无解（其他点都不满足要求）

​ $(l+r)/2$ 将 $[1,n]$ 扩大到 $[0,n]$，与上一个同理

适用场景

区间 $[l,r]$ 被划分成 $[l,mid]$ 和 $[mid+1,r]$ 时使用 第一个模板

区间 $[l,r]$ 被划分成 $[l,mid-1]$ 和 $[mid,r]$ 时使用 第二个模板

$(l+r)/2$ 适用于左区间不满足，右区间满足

$(l+r+1)/2$ 适用于左区间不满足，右区间满足

例题引入

给定一个数组，数组里的元素从小到大递增，找到 $\ge x$ 的数中最小的一个

给定一个数组，数组里的元素从小到大递增，找到 $\le x$ 的数中最小的一个

详解：
当我们遇到最大最小这类字眼的时候，一般要使用二分，当然，二分有两个模板，究竟如何考虑呢

首先，数组是单调递增的，我们可以使用二分

如果要找 $\le x$ 的数，那么这个数应该比较小，我们应该在左边查找，所以我们使用第一个模板

如果要找 $\ge x$ 的数，那么这个数应该比较大，我们应该在右边查找，所以我们使用第二个模板

二分查找

二分查找也被叫做折半查找，顾名思义，就是每次查找去掉不符合条件的一半区间，直到找到答案（整数二分）或者和答案十分接近（浮点二分）。在阅读题面时，我们要关注题目是最小值最大化还是最大值最小化

二分答案

二分答案适用于当答案属于一个区间，这个区间比较大，直接暴力会超时，最重要的是区间满足单调性，当这个答案越大（或越小），题目中的一个变量也会随之增大（或减少），通过check函数进行检验答案是否正确，根据结果放弃右半部分或左半部分