概率论-条件概率
条件概率
条件概率简介
条件概率是指事件A在另外一个事件B已经发生条件下的发生概率。条件概率表示为：\(p(A|B)\)，读作“在B的条件下A的概率”。若只有两个事件A，B，那么
\[p(A|B) = {\frac{p(AB)}{p(B)}}
\]
其中\(p(AB)\)表示\(A\)和\(B\)同时发生的概率，\(p(B)\)表示\(B\)发生的概率。
条件概率推广
上述乘法公式可推广到任意有穷多个事件时的情况。
设\(A_1,A_2,\ldots,{A_n}\)为任意\(n\)个事件\((n\geq2)\)且\(p(A_1A_2\ldots{A_n})>0\)，通过条件概率可得
\[\begin{align}
p(A_1A_2\ldots{A_n}) & = p(A_1A_2\ldots{A_{n-1}})p(A_n|A_1A_2\ldots{A_{n-1}})\\
& = p(A_1A_2\ldots{A_{n-2}})p(A_{n-1}|A_1A_2\ldots{A_{n-2}})p(A_n|A_1A_2\ldots{A_{n-1}}) \\
& \cdots \\
& = p(A_1)p(A_2|A_1)\cdots{p(A_n|A_1A_2\ldots{A_{n-1}})}
\end{align}
\]
