概率论-常见的概率分布模型
常见的概率分布模型
离散概率分布函数
离散概率分布也称为概率质量函数(probability mass function),离散概率分布的例子有
伯努利分布(Bernoulli distribution)
二项分布(binomial distribution)
泊松分布(Poisson distribution)
几何分布(geometric distribution)等
连续概率分布函数
连续概率分布也称为概率密度函数(probability density function),它们是具有连续取值(例如一条实线上的值)的函数,连续概率分布的例子有
正态分布(normal distribution)
指数分布(exponential distribution)
β分布(beta distribution)等
联合分布函数
给定一个随机变量(X,Y),称定义域为整个平面的二元实值函数
该二元实值函数为随机变量(X,Y)的分布函数,也可以称为是(X,Y)的联合分布函数。
按照联合分布函数的定义,F(x,y)=P((X,Y)\in{D_{xy}}),其中D_{xy}如下图所示
多项分布(Multinomial Distribution)
多项分布简介
多项分布是二项分布的推广,他们的区别是二项分布的结果只有0和1两种,多项式的结果可以有多个值。
多项分布的典型例子是掷骰子,6个点对应6个不同的数,每个点的概率都为{\frac{1}{6}}
与二项分布类似,多项分布来自于(p_1+p_2+\cdots+p_k)^n多项式的展开
多项分布公式解析
以掷骰子为例,掷骰子的时候掷1-6的概率都为{\frac{1}{6}},记作p_1-p_6,可以发现p_1+p_2+p_3+p_4+p_5+p_6=1,现在把p_1+p_2+p_3+p_4+p_5+p_6记作做一次抽样各种事件发生的概率和,即可得(p_1+p_2+p_3+p_4+p_5+p_6)^n=1^n为n次抽样所有事件相互组合对应的概率和,之后使用多项式展开(注:使用多项式定理展开,由于多项式定理不在本节提及范围内,不多赘述),如果它不是掷骰子,而是一个有n种可能的问题,会得到一个多项式展开的公式
这个多项式表示X_1出现x_1次,X_2出现x_2次,\ldots,X_k出现x_k次的出现概率,这样就得到了上述所示的多项分布的多项展开式公式。
伯努利分布(Bernoulli Distribution)
伯努利分布简介
伯努利分布是一个二值离散分布,结果只有0和1两种。
随即变量X为1的概率为p,则为0的概率为q=1-p,可以用公式表示为
伯努利分布的期望值和方差
伯努利分布的期望值为
伯努利分布的方差为
正态(高斯)分布(Normal(Gaussian) Distribution)
正态分布的概率密度函数图像
其中红线表示的是标准正态分布图像。
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from scipy import stats
%matplotlib inline
mu1 = 0
sig1 = 1
mu2 = 0
sig2 = 2
x = np.arange(-5, 5, 0.1)
y1 = stats.norm.pdf(x, mu1, sig1)
y2 = stats.norm.pdf(x, mu2, sig2)
plt.plot(x, y1, 'r-', label='$\mu=0,\sigma^2=1$')
plt.plot(x, y2, 'b-', label='$\mu=0,\sigma^2=2$')
plt.legend()
plt.show()
正态分布简介
正态分布也称作高斯分布,是最常见的一种分布,其概率密度函数为
如果一个随即变量X服从该分布,可以写作X ~ { N(\mu ,\sigma ^{2})} N(\mu, \sigma^2)。
当\mu=0,\sigma=1时的正态分布称作标准正态分布,这个分布能简化为
标准正态分布曲线区间面积计算
中心极限定理与正态分布
- 中心极限定理1:把许多未知的小作用加起来看作一个变量,这个变量服从正态分布
- 中心极限定理2:“大量统计独立的随即变量的和”的分布趋于正态分布
泊松分布(Poisson Distribution)
泊松分布的概率质量函数图像
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from scipy import stats
%matplotlib inline
lambd = 2.5
x = np.arange(0, 10)
y = stats.poisson.pmf(x, lambd)
plt.plot(x, y, label='$\lambda=2.5$')
plt.legend()
plt.show()
二项分布(Binomial Distributio)
二项分布的概率质量函数图像
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from scipy import stats
%matplotlib inline
n = 8
p = 0.4
x = np.arange(0, 20)
y = stats.binom.pmf(x, n, p)
plt.plot(x, y, 'o-', label='$n=8,p=0.4$')
plt.legend()
plt.show()
二项分布简介
二项分布是n次独立的二值实验(伯努利实验)中成功的次数的离散值概率分布(n次伯努利实验,一次伯努利实验得到一个伯努利分布)。
随机变量X服从参数n和p的二项分布记作:B(n,p)。n次实验中k次成功的概率质量函数为
其中C_n^k是二项式系数:C_n^k = {\frac{n!}{k!(n-k)!}}
二项分布来源于牛顿二项式
二项分布与伯努利分布
- 二项分布的期望是伯努利分布期望的n倍
- 二项分布的方差是伯努利分布方差的n倍
贝塔分布(Beta Distribution)
贝塔分布的概率密度函数图像
from scipy import stats
import matplotlib.pyplot as plt
import numpy as np
%matplotlib inline
a = 0.4
b = 0.6
x = np.arange(0.01, 1, 0.01)
y = stats.beta.pdf(x, a, b)
plt.plot(x, y, label='a=0.4,b=0.6')
plt.show()
几何分布(负二项分布)(Geometric Distribution)
几何分布概率质量函数图像
狄利克雷分布(多项分布的共轭分布)(Dirichlet distribution)
超几何分布(Hypergeometric Distribution)
指数分布(Exponential Distribution)
指数分布概率密度函数图像
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from scipy import stats
%matplotlib inline
lambd = 0.6
x = np.arange(0, 10, 0.1)
y = lambd * np.exp(-lambd*x)
plt.plot(x, y, label='$\lambda=0.6$')
plt.legend()
plt.show()
【推荐】编程新体验,更懂你的AI,立即体验豆包MarsCode编程助手
【推荐】博客园携手 AI 驱动开发工具商 Chat2DB 推出联合终身会员
【推荐】抖音旗下AI助手豆包,你的智能百科全书,全免费不限次数
【推荐】轻量又高性能的 SSH 工具 IShell:AI 加持,快人一步
· 聊一聊 C#异步 任务延续的三种底层玩法
· 敏捷开发:如何高效开每日站会
· 为什么 .NET8线程池 容易引发线程饥饿
· golang自带的死锁检测并非银弹
· 如何做好软件架构师
· 欧阳的2024年终总结,迷茫,重生与失业
· 史上最全的Cursor IDE教程
· 聊一聊 C#异步 任务延续的三种底层玩法
· 上位机能不能替代PLC呢?
· .NET Core:架构、特性和优势详解