04-05 提升树

提升树

  提升树(boosting tree)是以分类树或回归树作为弱学习器的强学习器。

  提升树模型用的是加法模型，算法用的是前向分步算法，弱学习器是决策树的集成学习方法。

提升树学习目标

1. 加法模型
2. 前向分步算法
3. 提升树与AdaBoost算法
4. 回归提升树流程
5. 提升树优缺点

提升树引入

  假设Nick的年龄是25岁。

1. 第1棵决策树

把Nick的年龄设置成初始值0岁去学习，如果第1棵决策树预测Nick的年龄是12岁，即残差值为\(25-12=13\)
2. 第2课决策树
1. 把Nick的年龄设置成残差值13岁去学习，如果第2棵决策树能把Nick分到13岁的叶子节点，累加两棵决策树的预测值加和\(12+13=25\)，就是Nick的真实年龄25岁
2. 如果第2棵决策树的得到的是10岁，残差值为\(25-12-10=3\)
3. 第3课决策树

把Nick的年龄设置成残差值3岁去学习……
4. 继续重复上述过程学习，不断逼近Nick的真实年龄

提升树详解

加法模型

  提升树模型可以表示为决策树的加法模型

\[f_M(x)=\sum_{i=1}^MT(x;\theta_m) \]

其中\(T(x;\theta_m)\)表示决策树；\(\theta_m\)表示决策树的参数；\(M\)为树的个数。

前向分步算法

  提升树模型使用的是前向分布算法，即假设初始提升树\(f_0(x)=0\)，第\(m\)步的模型是

\[f_m(x)=f_{m-1}(x)+T(x;\theta_m) \]

其中\(f_{m-1}(x)\)为当前模型，通过经验风险极小化确定一下课决策树的参数\(\theta_m\)

\[\hat{\theta_m}=\underbrace{arg\,min}_{\theta_m}\sum_{i=1}^mL(y_i,f_{m-1}(x_i)+T(x_i;\theta_m)) \]

提升树与AdaBoost算法

  AdaBoost算法使用的是前向分步算法，利用前一轮弱学习器的误差率更新训练数据的权重；提升树使用的也是前向分步算法，但是提升树如其名，他的弱学习器只能使用决策树，一般使用CART树，然后他的迭代思路也与AdaBoost算法不同

  假设提升树在\(t-1\)轮的强学习器为\(f_{t-1}(x)\)，目标函数是

\[L(y,f_{m-1}(x)) \]

  在第\(t\)轮的目标则是找到一个弱学习器(决策树)\(h_t(x)\)，最小化第\(t\)轮的目标函数

\[L(y,f_m(x))=L(y_i,f_{m-1}(x)+T(x;\theta_m)) \]

  但是当AdaBoost算法中的弱学习器为二类分类树的时候，其实AdaBoost就是提升树，即可以说分类提升树算法是AdaBoost算法的一种特殊情况。

回归提升树

  有\(m\)个数据\(n\)个特征的训练数据集\(T=\{(x_,y_1),(x_2,y_2),\cdots,(x_m,y_m)\}\)，如果将输入空间划分为\(k\)互不相交的区域\(R_1,R_2,\cdots,R_j\)，并且在每个区域上确定输出的常量\(c_j\)，决策树可以表示为

\[T(x;\theta)=\sum_{j=1}^Jc_jI(x\in{R_j}) \]

其中，\(\theta=\{(R_1,c_1),(R_2,c_2),\cdots,(R_J,c_J)\}表示树的区域划分和各区域上的常数，\)J$是回归树的叶节点个数。

前向分步算法

\[\begin{align} & f_0(x)=0 \\ & f_1(x)=f_0(x)+T(x;\theta_1) \\ & \cdots \\ & f_m(x)=f_{m-1}(x)+T(x,\theta_m),m=1,2,\cdots,M \\ & f_M(x)=\sum_{m=1}^MT(x;\theta_m) \end{align} \]

  在第\(m\)步\(f_m(x)=f_{m-1}(x)+T(x,\theta_m)\)的时候，给定了\(f_{m-1}(x)\)，需要求解第\(m\)棵的参数\(\hat{\theta_m}\)

\[\hat{\theta_m} = \underbrace{arg\,min}_{\theta_m}\sum_{i=1}^mL(y_i,f_{m-1}(x_i)+T(x_i;\theta_m)) \]

平方误差损失函数

  对于第\(m\)棵树的参数\(\hat{\theta_m}\)，可以采用平方误差损失函数\(L(y,f(x))=(y-f(x))^2\)求解，树的损失变为

\[\begin{align} L(y,f_{m-1}(x)+T(x;\theta_m)) & = [y-f_{m-1}(x)-T(x;\theta_m)]^2 \\ & = [r-T(x;\theta_m)]^2 \end{align} \]

其中\(r=y-f_{m-1}(x)\)是当前模型拟合数据的残差。

  对于回归提升树，只需简单地拟合当前模型的残差。

回归提升树流程

输入

  有\(m\)个数据\(n\)个特征的训练数据集\(T=\{(x_,y_1),(x_2,y_2),\cdots,(x_m,y_m)\}\)。

输出

  回归提升树\(f_M(x)\)。

流程

1. 初始化\(f_0(x)=0\)
2. 对\(m=1,2,\cdots,M\)
   1. 计算残差\(r_{mi}=y_i-f_{m-1}(x_i),\quad{i=1,2,\cdots,m}\)
   2. 拟合残差\(r_{mi}\)学习一个回归树，得到\(T(x;\theta_m)\)
   3. 更新\(f_m(x)=f_{m-1}(x)+T(x;\theta_m)\)
3. 得到回归提升树

\[f_M(x)=\sum_{i=1}^MT(x;\theta_m) \]

提升树优缺点

优点

1. 既可以解决分类问题，又可以解决回归问题

缺点

1. 弱学习器之间存在依赖关系，难以并行训练
2. 提升树只是简单的拟合模型的残差，并不准确

小结

  提升树属于Boosting系列算法，他和AdaBoost有相似之处的，并且当AdaBoost算法中的弱学习器为二类分类树的时候，梯度提升树就是一种特殊的AdaBoost算法。

  由于提升树是由简单的残差计算得到的，所以在某种程度上来说，提升树是有一定缺陷的，为了解决这个问题，一般会采用梯度提升树来弥补。