02-08 多项式回归(波士顿房价预测)

多项式回归(波士顿房价预测)

导入模块

import pandas as pd
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from matplotlib.font_manager import FontProperties
from sklearn.preprocessing import PolynomialFeatures
from sklearn.linear_model import LinearRegression
from sklearn.metrics import r2_score
%matplotlib inline
font = FontProperties(fname='/Library/Fonts/Heiti.ttc')

获取数据

  在《代码-普通线性回归》的时候说到特征LSTAT和标记MEDV有最高的相关性，但是它们之间并不是线性关系，因此这次尝试使用多项式回归拟合它们之间的关系。

df = pd.read_csv('housing-data.txt', sep='\s+', header=0)
X = df[['LSTAT']].values
y = df['MEDV'].values

训练模型

# 增加二次方，即二项式回归
quadratic = PolynomialFeatures(degree=2)
# 增加三次方，即三项式回归
cubic = PolynomialFeatures(degree=3)
# 训练二项式和三项式回归得到二次方和三次方的X
X_quad = quadratic.fit_transform(X)
X_cubic = cubic.fit_transform(X)

# 增加x轴坐标点
X_fit = np.arange(X.min(), X.max(), 1)[:, np.newaxis]

lr = LinearRegression()

# 线性回归
lr.fit(X, y)
lr_predict = lr.predict(X_fit)
# 计算线性回归的R2值
lr_r2 = r2_score(y, lr.predict(X))

# 二项式回归
lr = lr.fit(X_quad, y)
quad_predict = lr.predict(quadratic.fit_transform(X_fit))
# 计算二项式回归的R2值
quadratic_r2 = r2_score(y, lr.predict(X_quad))

# 三项式回归
lr = lr.fit(X_cubic, y)
cubic_predict = lr.predict(cubic.fit_transform(X_fit))
# 计算三项式回归的R2值
cubic_r2 = r2_score(y, lr.predict(X_cubic))
print(lr.score(X_cubic, y))
print(cubic_r2)

0.6578476405895719
0.6578476405895719

报告决定系数

  r2_score即报告决定系数\((R^2)\)，可以理解成MSE的标准版，\(R^2\)的公式为

\[R^2 = 1-{\frac {{\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n(y^{(i)}-\hat{y^{(i)}})^2}} {{\frac{1}{n}}\sum_{i=1}^n(y^{(i)}-\mu_{(y)})^2} } \]

其中\(\mu_{(y)}\)是\(y\)的平均值，即\({{\frac{1}{n}}\sum_{i=1}^n(y^{(i)}-\mu_{(y)})^2}\)为\(y\)的方差，公式可以写成

\[R^2 = 1-{\frac{MSE}{Var(y)}} \]

  \(R^2\)的取值范围在\(0-1\)之间，如果\(R^2=1\)，则均方误差\(MSE=0\)，即模型完美的拟合数据。

可视化

plt.scatter(X, y, c='gray', edgecolor='white', marker='s', label='训练数据')
plt.plot(X_fit, lr_predict, c='r',
         label='线性(d=1),$R^2={:.2f}$'.format(lr_r2), linestyle='--', lw=3)
plt.plot(X_fit, quad_predict, c='g',
         label='平方(d=2),$R^2={:.2f}$'.format(quadratic_r2), linestyle='-', lw=3)
plt.plot(X_fit, cubic_predict, c='b',
         label='立方(d=3),$R^2={:.2f}$'.format(cubic_r2), linestyle=':', lw=3)
plt.xlabel('地位较低人口的百分比[LSTAT]', fontproperties=font)
plt.ylabel('以1000美元为计价单位的房价[RM]', fontproperties=font)
plt.title('波士顿房价预测', fontproperties=font, fontsize=20)
plt.legend(prop=font)
plt.show()

  上图可以看出三项式的拟合结果优于二项式和线性回归的结果，但是在增加模型复杂度的同时，也需要时刻考虑到是否会出现过拟合的问题。