最小生成树

大纲

Kruskal算法
Prim算法 and/or Dijkstra算法

最小生成树的概念

图？

由一个点集V（表示所有点）和一个边集E（表示所有边）共同构成的数据结构。V和E甚至可以是空集。

延伸：

有向图、无向图
连通图、强连通图连通图指所有点都相连；强连通图指在有向图中，每两个点都可以互相到达（$\therefore强连通图\subset连通图$）
有向无环图（DAG）、无向连通图
重边（两个点间有两条或以上的直连边）、自环（自己指向自己的边）
...

树？

无向无环连通图。

有根树，无根树

有根树中明确指定了两个点间的父子关系，所以可以认为边是有向的（由父亲指向儿子或相反）无根树没有明确的父子关系，指定任意一个点当做根都可以。注意当选定作为根的顶点后，父子关系就明确了，无根树就变成了有根树。

生成树？

设图中有n个顶点，选出n-1条边来构成一个树，即称为该图的生成树。

最小生成树？

在某个图的所有生成树里边权之和最小的那个。

Kruskal算法

算法流程

初始化最小生成树中没有任何边。然后由长度从小到大依次考虑每条边：若加入最小生成树后形成了环，则不加入；否则加入。

分析

排序过程可以直接使用STL库的sort。算法的瓶颈在于判断环上。

解法

使用并查集维护顶点之间的连接关系。开始时没有任何点相连，即初始化并查集。判断环时，只需判断该边的两个顶点是否原来就相连，即是否在一个集合中。加边时，合并集合。

证明（来自OI wiki）

思路很简单，为了造出一棵最小生成树，我们从最小边权的边开始，按边权从小到大依次加入，如果某次加边产生了环，就扔掉这条边，直到加入了 $n-1$ 条边，即形成了一棵树。

证明：使用归纳法，证明任何时候 K 算法选择的边集都被某棵 MST 所包含。

基础：对于算法刚开始时，显然成立（最小生成树存在）。

归纳：假设某时刻成立，当前边集为 $F$ ，令 $T$ 为这棵 MST，考虑下一条加入的边 $e$ 。

如果 $e$ 属于 $T$ ，那么成立。

否则， $T+e$ 一定存在一个环，考虑这个环上不属于 $F$ 的另一条边 $f$ （一定只有一条）。

首先， $f$ 的权值一定不会比 $e$ 小，不然 $f$ 会在 $e$ 之前被选取。

然后， $f$ 的权值一定不会比 $e$ 大，不然 $T+e-f$ 就是一棵比 $T$ 还优的生成树了。

所以， $T+e-f$ 包含了 $F$ ，并且也是一棵最小生成树，归纳成立。

【代码】：

#include<bits/stdc++.h>

using namespace std;

int n,m,k;
long long ans;
const int maxn=500005;
int fa[maxn];

struct edge   //起点，终点，权值 
{
    int x,y,z;
}a[maxn];

int find(int x)   //通过是否具有同一个父亲（是否在同一集合里）判断是否连通成环 
{
    if(fa[x]!=x) fa[x]=find(fa[x]);
    return fa[x];
}

bool cmp(edge x, edge y)  //排序 
{
    return x.z<y.z;
}

void kruskal()     //核心算法 
{
    for(int i=1;i<=n;i++) fa[i]=i;
        
    sort(a+1,a+m+1,cmp);   
    
    for(int i=1;i<=m&&k<=n-1;i++)
    {
        int f1=find(a[i].x);
        int f2=find(a[i].y);
        if(f1!=f2)
        {
            ans+=a[i].z;
            fa[f1]=f2;    //合并，连通起来
            k++;
        }
    }
    
    if(k==n-1)
      cout<<ans<<endl;
    
    else cout<<"No Solution.\n";
}

int main()
{
    scanf("%d%d",&n,&m);
    
    for(int i=1;i<=m;i++)
      scanf("%d%d%d",&a[i].x,&a[i].y,&a[i].z);

    kruskal();
    
    return 0;
    
}