高精度计算
高精度计算
看一下c++存储范围：
Int &long long范围：
Int [ -231 , 231-1 ]
long long [ -263 , 263-1 ] ≈ 1020
由于C++储存的最大整数是 long long 类型的，2^63左右，可是如果我们要计算的数超过了这个范围，那就会爆了，是时候引入高精度计算了。
高精度计算要把需要运算的数转化为字符串读入，否则会炸
高精度计算方法：竖式加减乘除法
用数组存储数字每一位
比如，一个数组z
把19260817存进数组z
倒序存，保证个位对齐
所以下标为 i，表示这个数的10i 位
我们希望可以写一个高精度的板子，int 可以实现的，gaojing 也可以实现
高精度加法
思路：模拟竖式计算
注意：（1）进位
（2）倒序计算
1.整体框架
一般 int 类型的加法
粘进来高精度板子
希望写一个高精度模板
Int 实现，改成gaojing
2.结构体
3.初始化
不同编译器对于这两个东西初始值不同，所以要初始化
ps:析构函数：防止内存泄漏 此处用不到
4.重载cin cout （放在gaojing里面）
友元函数 friend Istream 读入流 & 取址
用cin 把a读到高精度里
static静态变量 不可去掉
一般不可以在函数里开数组的局部变量
要用static，否则爆栈
Const 保证不会改变a
从高位到低位输出
有原函数必须放在类里面声明
5.重载运算符:
我们重载运算符，希望板子可以直接实现以上操作
定义高精度的a和高精度的b加法运算，返回类型也是高精度的值
不会影响int的加法运算
BUT！！！！
写法有问题
~~~没有看出问题，没有打好基础QAQ~~~
输出1，2333
加了取址符号&，就是直接引用a的值，更改的话更改a的值
不加取址符号&，就是拷贝一份a的备份a’，更改的话更改a’的值
So，
每次调用会拷贝一份二十万位的数组，很慢
改成
还是有问题
操作过程中可能会改变a的值
为了避免手抖改数字，加上const，同时为了更好的引用STL
看代码：（ZHX版本）
#include<iostream> #include<cstdlib> #include<cstring> using namespace std; struct gaojing { int z[100010]; int l; gaojing() { l=1; memset(z,0,sizeof(z)); } friend istream& operator>>(istream &cin, gaojing &a) { static char s[100010]; cin >> s; int l=strlen(s); for (int i=0;i<l;i++) a.z[i] = s[l-i-1] - '0'; a.l = l; return cin; } friend ostream& operator<<(ostream &cout,const gaojing &a) { for (int i=a.l-1;i>=0;i--) cout << a.z[i]; return cout; } }; gaojing operator+(const gaojing &a,const gaojing &b) { gaojing c; int l = max(a.l,b.l); for (int i=0;i<l;i++) { c.z[i] += a.z[i] + b.z[i]; c.z[i+1] += c.z[i] / 10; c.z[i] = c.z[i] % 10; } if (c.z[l] != 0) l++; c.l = l; return c; } int main() { gaojing a,b; cin >> a >> b; a+b; cout << a+b << endl; }
（白书版本）
#include<iostream> #include<algorithm> #include<cstdio> #include<cmath> #include<cstring> #include<cstdlib> using namespace std; char a1[10000],b1[10000]; int a[10000],b[10000],c[10000]; int main() { scanf("%s",a1); scanf("%s",b1);
int lena=strlen(a1); int lenb=strlen(b1);
for(int i=lena-1;i>=0;i--) a[lena-i]=a1[i]-'0'; //字符串转数字 for(int i=lenb-1;i>=0;i--) b[lenb-i]=b1[i]-'0';
int len=max(lena,lenb);
for(int i=1;i<=len;i++) c[i]=a[i]+b[i]; for(int i=1;i<=len;i++) { c[i+1]+=c[i]/10; //处理进位 c[i]%=10; }
if(c[len+1]>0) len++; //处理最高位
for(int i=len;i>0;i--) printf("%d",c[i]);
return 0; }
高精度减法
思路：模拟竖式计算，进位变退位
注意：（1）大减小为负数
（2）借位减1
（3）strcmp(a1,b1)，如果a1>b1,返回正数；a1=b1,返回0；a1<b1,返回负数
#include<iostream> #include<algorithm> #include<cstdio> #include<cmath> #include<cstring> #include<cstdlib> using namespace std; char a1[10000],b1[10000],c1[10000]; int a[10000],b[10000],c[10000]; int main() { scanf("%s",a1); scanf("%s",b1); if(strlen(a1)<strlen(b1)||strlen(a1)==strlen(b1)&&strcmp(a1,b1)<0) { strcpy(c1,a1); //把a1数组的值完全赋给c1 strcpy(a1,b1); strcpy(b1,c1); cout<<"-"; } int lena=strlen(a1); int lenb=strlen(b1); for(int i=lena-1;i>=0;i--) a[lena-i]=a1[i]-'0'; for(int i=lenb-1;i>=0;i--) b[lenb-i]=b1[i]-'0'; int len=max(lena,lenb); for(int i=1;i<=len;i++) { if(a[i]<b[i]) { a[i]+=10; //借位 a[i+1]--; } c[i]=a[i]-b[i]; } if(c[len]==0&&len>0) len--; //处理前导0 for(int i=len;i>0;i--) printf("%d",c[i]); return 0; }
高精度乘法
思路：模拟乘法竖式
注意：（1）判断结果正负0
（2）注意借位
[代码]
#include<iostream> #include<cstdlib> #include<cstring> using namespace std; struct gaojing { int z[100010]; int l; gaojing() { l=1; memset(z,0,sizeof(z)); } friend istream& operator>>(istream &cin, gaojing &a) { static char s[100010]; cin >> s; int l=strlen(s); for (int i=0;i<l;i++) a.z[i] = s[l-i-1] - '0'; a.l = l; return cin; } friend ostream& operator<<(ostream &cout,const gaojing &a) { for (int i=a.l-1;i>=0;i--) cout << a.z[i]; return cout; } }; gaojing operator*(const gaojing &a,const gaojing &b) { gaojing c; for (int i=0;i<a.l;i++) for (int j=0;j<b.l;j++) c.z[i+j] += a.z[i] * b.z[j]; c.l = a.l+b.l; for (int i=0;i<c.l;i++) { c.z[i+1] += c.z[i] / 10; c.z[i] = c.z[i] % 10; } while (c.l>0 && c.z[c.l]==0) c.l--; c.l ++; return c; } int main() { gaojing a,b; cin >> a >> b; cout << a*b << endl; }
白书代码：
#include<iostream> #include<cstdio> #include<cmath> #include<string> #include<cstring> #include<algorithm> using namespace std; char a1[200001],b1[200001]; int a[200001],b[200001],c[5000000],lena,lenb,lenc,x,i,j; int main() { scanf("%s",a1); scanf("%s",b1); if(a1[0]=='0'||b1[0]=='0') { cout<<"0"; return 0; } lena=strlen(a1); lenb=strlen(b1); if(a1[0]=='-'&&b[0]!='-') { cout<<"-"; for(i=0;i<=lena-1;i++) a1[i]=a1[i+1]; lena--; } if(a1[0]!='-'&&b[0]=='-') { cout<<"-"; for(i=0;i<=lenb-1;i++) b1[i]=b1[i+1]; lenb--; } if(a1[0]=='-'&&b[0]=='-') { for(i=0;i<=lena-1;i++) a1[i]=a1[i+1]; lena--; for(i=0;i<=lenb-1;i++) b1[i]=b1[i+1]; lenb--; } for(i=0;i<=lena-1;i++) a[lena-i]=a1[i]-'0'; for(i=0;i<=lenb-1;i++) b[lenb-i]=b1[i]-'0'; for(i=1;i<=lena;i++) { x=0; for(j=1;j<=lenb;j++) { c[i+j-1]=a[i]*b[j]+x+c[i+j-1]; x=c[i+j-1]/10; c[i+j-1]%=10; } c[i+lenb]=x; } lenc=lena+lenb; while(c[lenc]==0&&lenc>0) lenc--; for(i=lenc;i>=1;i--) cout<<c[i]; cout<<endl; return 0; }
高精度除法（常用高精度除以低精度）
1.高精度除以低精度（lyd版本）
void div(gaojing a,int b) { int t=0; for(int i=a.size-1;i>=0;i--) { t=t*10+a.a[i]; a.a[i]=t/b; t=t%b; } while(a.a[a.size-1]==0&&a.size>1) a.size--; }
2.高精除以高精
a是被除数，b是除数
//高精度除以高精度 gaojing operator / (gaojing a,gaojing b) { gaojing c; c.size=a.size-b.size+1; for(int i=a.size-1;i>=b.size-1;i--) { a.a[i]+=a.a[i+1]*10; a.a[i+1]=0; if(a.a[i]==0) continue; for(;;) { bool geq=true; for(int j=i,k=b.size-1;k>=0;j--,k--) { if(a.a[j]>b.a[k]) {geq=true;break;} if(a.a[j]<b.a[k]) {geq=false;break;} } if(geq==false) break; c.a[i-b.size+1]++; for(int j=i-b.size+1,k=0;k<b.size;j++,k++) { if(a.a[j]<b.a[k]) { a.a[j+1]--; a.a[j]+=10; } a.a[j]-=b.a[k]; } } } for(;!c.a[size-1]&&c.size>1;c.size--) return c; }
思路：模拟除法式子
#include<iostream> #include<algorithm> #include<cstdio> #include<cmath> #include<cstring> #include<cstdlib> using namespace std; char str[50010]; int a[50010],c[50000000]; int main() { scanf("%s", str); int len=strlen(str); for(int i=len-1;i>=0;i--) a[len-i]=str[i]-'0'; int n=len; int B; cin>>B; for(int i=n;i>0;i--) { c[i]=a[i]/B; a[i-1]+=(a[i]%B)*10; } while(c[n]==0 && n>0) n--; for(int i=n;i>0;i--) printf("%d",c[i]); return 0; }
高精度开方
计算流程：
（1）从小数点开始，向左，2位划分一节，向右，两位划分一节，首位不够一节补0
（2）从左到右数第一节开始开方
（3）第一节开2，上位1余1，移下来第二节，得到171，当前所得答案1
考虑满足（1*20+x）* x <= 171 的最大 x 为多少，x 上位到第二节上面，此时上位 6
所得（1*20+6）* 6 =156，与原来171作差，得15，移下来第三节，得到1582
当前所得答案16
考虑满足（16*20+x）* x <= 1582 的最大 x 为多少，x 上位到第三节上面，此时上位4
所得（16*20+4）* 4 =1296，与原来1582作差，得286
< 推广 >
移下来第 i 节，得到 res ，当前所得答案 ans
考虑满足 (ans*20+x) * x<=res 的最大 x 为多少，x 上位到第 i 节上面
所得(ans*20+x)*x 与原来 res 作差，得 cha
移下来第 i+1 节，得到新的 res ，更新当前所得答案 ans
（QWQ 一不小心暴露了人类的本质 QWQ）
（4）答案不用补0，也就是一节对应答案的一位数字，得到答案别忘加小数点（如果需要的话）
PS：至于为什么乘以20啊，规定QWQ
下面简单证明一下：
比如你开方一个整数（361），得到一个两位数（19）
我们把这个两位数整数看做 x y
那么它的十进制数表示就是 （10x+y），被开方数就是（10x+y）2
( 10 x + y )2
=100 x2 + y2 +20xy
=100 x2 + y ( 20x + y )
也就相当于你先开出来一个 x ，然后再去找 y 啊，看上面的式子hin像计算流程
原理不想讲，自己去百度（逃）
原理是： (a*10+b)^2=100*a^2+2*a*10*b+b^2=100*a^2+(20*a+b)*b 竖式算开平方步骤：（如：把625开方） （1）先把被开方的数由右到左每二位一组。（6,25) （2）由左到右取每一组。（取的是6） （3）取某数的平方，要比第一组数小，但某数+1的平方，要比第一组数大，这就是第一个开方值。（某数是2） （4）把第一组数减去第一个开方值的平方，再取第二组数，构成余数。（6-2*2=2，余数为225） （5）把第一个开方值*20，再加上估计的第二个开方值，它与第二个开方值相乘要比余数小，但把第一个开方值*20，再加上估计的第二个开方值+1，它与第二个开方值+1相乘要比余数大。（第二个开方值取5，2*20+5=45，45*5=225) 所以(625)^0.5=25 现在中考高考都不让带计算器了，试卷上出现的一些常见开方的数字都是直接提供给学生的。现在手工列竖式开方基本不再需要了，但是每每想起当时老师教过的列式开平方的方法，还是很骄傲的。 手工开平方的原理实际是很简单的，原理如下 (a+b)^2=a^2+2ab+b^2=a^2+(2a+b)*b 这里的a取10的倍数，b取个位数，如(10+2)^2=10^2+(2*10+2)*2=100+22*2=144，这是知道结果时的推算，如何给你一个数字，让你推算它的开平方值呢？ 现在要对144开平方，那么估计所求的值为十几，因此可以写成(10+?)^2=10^2+(2*10+?)*?，这样猜这个？为2时，再代入计算，发现计算出的值正确。按此方法，可以列竖式进行计算。如果需要对2025进行开方处理，那么按两位两位进位，需要先对20求根，取5时，5*5>20，因此只能取4，也就是结果是四十几，即(40+?)^2=40^2+(2*40+?)*?，即减去40的平方1600后，2025还余下425，425再去除于8？(八十几)，才能得到？（几），结论当然是85*5=425，因此2025开平方就是45。
歪门邪道
口算两位数乘法
优化
举个栗子
在高精度加法
1 2 3 4 5 6 7 8 +
1 2 3 4 5 6 7 8 时
我们可以把1234存在一个数组格子里，最后就是%1000或者/1000了，只需要计算两次加法，提高效率，其他运算同理可以优化
突然我们发现一个神奇的东西，它叫做Python 3，但是考试不能用鸭
P1932 A+B A-B A*B A/B A%B Problem
a,b=int(input()),int(input()) print (a+b) print (a-b) print (a*b) print (a//b) print (a%b)
