密码学简单数论(3):算术基本定理证明、等价关系、同余和乘法逆元

参考资料:
1.https://www.bilibili.com/video/BV1x3411s7Sy/?spm_id_from=333.788&vd_source=e66dd25b0246f28e772d75f11c80f03c

算术基本定理证明

  

定理2-2(算术基本定理):任何非零整数n可以表示出如下乘积形式:n=±p1e1...prer。其中,p1...pr是互不相同的素数,e1...er是正整数.

  
存在性(任何非零整数n可以表示出如下乘积形式:n=±p1e1...prer)

证明:

n=1:n是0个素数的乘积,存在性成立.

n>1:

假设所有小于n的正整数都可以表示成素数的乘积。

对于n,分两种情况:

若n本身是素数,明显成立.

若n是合数,存在整数1<a<n,1<b<n,使得n=ab.

a,b都可以表示成素数的乘积,那么ab=n也可以,存在性成立.

定理7-1:设p是素数,a,b∈Z,则p|ab→p|a或p|b
推论:设p是素数,a1,...,ak∈Z,则p|a1..ak→p|ai,i∈

  

唯一性(p1...pr=q1..qs,p1,...pr中可以有重复素数,q1..qs也可以有重复素数)

证明:

r=0:必有s=0,唯一性成立.

r>0:必有s>0.假设r-1时,唯一性成立。对于r,考虑素数p1,既然p1是等式左边的因子,它必然是右边的因子。即:p1|q1...qs.

根据推论,必有qj,使得p1|qj,因为qj是素数,所以p1=qj。

从等式两边消掉p1和qj。左边变成r-1的情况,根据归纳假设,r-1时满足唯一性。

所以r时也满足唯一性.得证.

等价关系

  

例一:实数集合R,二元关系"="。有:
自反性:对于所有a∈R,都有a=a;
对称性:对于所有a,b∈R,都有a=b→b=a;
传递性:对于所有a,b,c∈R,都有a=b,b=c→a=c;

例二:全体三角形集合T,二元关系"≌".有:
自反性:对于所有△A∈T,都有△A≌△A。
对称性:对于所有△A,△B∈T,都有△A≌△B
传递性:对于所有△A,△B,△C∈T,都有△A≌△B,可知△A≌△C.

定义:设集合S,定义在S上的二元关系R。如果R满足以下性质,则称它为“等价关系”:

自反性:对于所有a∈S,都有(a,a)∈R

对称性:对于所有a,b∈S,都有(a,b)∈R→(b,a)∈R

传递性:对于所有a,b,c∈S→(a,c)∈R

例三:S=R,二元关系R={(x,y):x2=y2,x,y∈S}
自反性:对于所有x∈S,都有x2=x2,所以(x,x)∈R
对称性:对于所有x,y∈S→x2=y2→y2=x2→(y,x)∈R
传递性:对于所有x,y,z∈S,都有(x,y)∈R,(y,z)∈R→x2=y2,y2=z2→x2=z2→(x,z)∈R.

例四(非等价关系)实数集合R、二元关系">".
存在x∈R,x>x不成立.(非自反)
存在x,y∈R,有x>y成立但y>x不成立(非对称)
对于所有x,y,z∈R,都有x>y,y>z→x>z.

同余

  
a≡b(mod n):设n为正整数,整数a和b分别模n,如果得到相同的余数,就称a和b在模n下满足同余关系(congruence relation),简称同余.

定义(同余关系):设a,b,n∈Z,n>0,如果n|(a-b),就称a和b在模n下同余,记作a≡b(mod n).

令a=q1n+r1,b=q2n+r2。有a-b=(q1-q2)n+(r1-r2)=qn(r1-r2=0).

性质:a≡b(mod n)↔a=qn+b,存在q∈Z

令a=q1n+r,b=q2n+r

有a=q1n+b-q2n

=(q1-q2)n+b

=qn+b

→(a-b)=qn

同余运算法则:

a≡b(mod n):

a+m≡b+m(mod n),m∈Z

a-m≡b-m(mod n),m∈Z

axm≡bxm(mod n),m∈Z

am≡bm(mod n),m∈N

乘法逆元

  

定义(乘法逆元):设a∈Z,n∈N,如果az≡1(mod n),称z是模n下a的乘法逆元,记作a^-1=z.
a的乘法逆元是z=a-1,z=a-1的乘法逆元是a
z-1=(a-1)-1=a((-1)x(-1))=a

有三点需要注意:

1.模n下互为乘法逆元,一般只考虑比n小的.

2.a在模n内的乘法逆元a-1(1<=a-1<n)是唯一的.

3.乘法逆元存在的条件:gcd(a,n)=1 ↔ 模n下,a有乘法逆元.

设gcd(a,n)=d(d>1).
假设a^-1=b,则ab≡1(mod n),有ab=qn+1,
即ab-qn=1
因为,d|a,d|n
所以,d|1,矛盾,假设不成立.

求乘法逆元

扩展的欧几里得算法:

设gcd(a,n)=1

根据裴蜀定理,有

as+tn=1

等式两边模n,得

as≡1(mod n)

易知,模n下a的逆元是s

posted @ 2023-02-20 11:23  桀鷔早馴  阅读(100)  评论(0编辑  收藏  举报