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海伦公式 海伦公式 假设在平面内，有一个三角形，边长分别为 \(a,b,c\)，三角形的面积 \(S\) 可由以下公式求得： \(\sqrt{p\left(p-a\right)\left(p-b\right)\left(p-c\right)}\) 而公式里的 \(p\) 为半周长（周长的一半）： \ 阅读全文
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格雷码 格雷码是一个二进制数系，其中两个相邻数的二进制位只有一位不同。举个例子，\(3\) 位二进制数的格雷码序列为 \(000,001,011,010,110,111,101,100\) 注意序列的下标我们以 \(0\) 为起点，也就是说 \(G(0)=000,G(4)=110\)。 格雷码由贝尔 阅读全文
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概率dp 引入 概率dp用于解决概率问题与期望问题，一般情况下，解决概率问题需要顺序循环，而解决期望问题使用逆序循环，如果定义的状态转移方程存在后效性问题，还需要用到高斯消元来优化。概率dp也会结合其他知识进行考察，例如状态压缩，树上进行 DP 转移等。 dp求概率 这类题目采用顺推，也就是从初始状 阅读全文
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中国剩余定理 引入 「物不知数」问题：有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二。问物几何？ 即求满足以下条件的整数：除以 \(3\) 余 \(2\)，除以 \(5\) 余 \(3\)，除以 \(7\) 余 \(2\)。 该问题最早见于《孙子算经》中，并有该问题的具体解法。宋朝数学家秦九 阅读全文
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平衡三进制 定义 平衡三进制，也称为对称三进制。这是一个不太标准的计数体系。 正规的三进制的数字都是由 \(0,1,2\) 构成的，而平衡三进制的数字是由 \(-1,0,1\) 构成的。它的基数也是 \(3\)（因为有三个可能的值）。由于将 \(-1\) 写成数字不方便，我们将使用字母 \(Z\) 阅读全文
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Pick 定理 Pick 定理 Pick 定理：给定顶点均为整点的简单多边形，皮克定理说明了其面积 \({\displaystyle A}\) 和内部格点数目 \({\displaystyle i}\)、边上格点数目 \({\displaystyle b}\) 的关系： \({\displaysty 阅读全文
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卡特兰数 Catalan 数列 Catalan 数列 \(H_n\) 可以应用于以下问题： 有 \(2n\) 个人排成一行进入剧场。入场费 \(5\) 元。其中只有 \(n\) 个人有一张 \(5\) 元钞票，另外 \(n\) 人只有 \(10\) 元钞票，剧院无其它钞票，问有多少种方法使得只要有 阅读全文
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康托展开 康托展开可以用来求一个 \(1\sim n\) 的任意排列的排名。 康托展开可以在 \(O(n^2)\) 的复杂度内求出一个排列的排名，在用树状数组优化时可以做到 \(O(n\log n)\)。 前置知识 什么是排列（前置知识 1） \(n\) 的排列是 \(1\) 到 \(n\) 各出现 阅读全文
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换根dp 一般来说，我们做题的树都是默认 \(1\) 为根的。但是有些题目需要计算以每个节点为根时的内容。 朴素的暴力：以每个点 \(u\) 作为 \(root\) 暴力 \(dfs\) 下去，复杂度 \(O\left(n^2\right)\)。 正确的做法：换根dp，复杂度 \(O\left(n\ 阅读全文
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扫描线 引入 扫描线一般运用在图形上面，它和它的字面意思十分相似，就是一条线在整个图上扫来扫去，它一般被用来解决图形面积，周长，以及二维数点等问题。 Atlantis 问题 方法 我们可以把整个矩形分成如图各个颜色不同的小矩形，那么这个小矩形的高就是我们扫过的距离，那么剩下了一个变量，那就是矩形的长 阅读全文