平衡三进制
平衡三进制
定义
平衡三进制，也称为对称三进制。这是一个不太标准的计数体系。
正规的三进制的数字都是由 \(0,1,2\) 构成的，而平衡三进制的数字是由 \(-1,0,1\) 构成的。它的基数也是 \(3\)（因为有三个可能的值）。由于将 \(-1\) 写成数字不方便，我们将使用字母 \(Z\) 来代替 \(-1\)。
解释
这里有几个例子：
| 十进制 | 平衡三进制 | 十进制 | 平衡三进制 |
|---|---|---|---|
| \(0\) | \(0\) | \(5\) | \(1ZZ\) |
| \(1\) | \(1\) | \(6\) | \(1Z0\) |
| \(2\) | \(1Z\) | \(7\) | \(1Z1\) |
| \(3\) | \(10\) | \(8\) | \(10Z\) |
| \(4\) | \(11\) | \(9\) | \(100\) |
该计数体系的负数表示起来很容易：只需要将正数的数字倒转即可（\(Z\) 变成 \(1,1\) 变成 \(Z\)）。
| 十进制 | 平衡三进制 |
|---|---|
| \(-1\) | \(Z\) |
| \(-2\) | \(Z1\) |
| \(-3\) | \(Z0\) |
| \(-4\) | \(ZZ\) |
| \(-5\) | \(Z11\) |
很容易就可以看到，负数最高位是 \(Z\)，正数最高位是 \(1\)。
过程
在平衡三进制的转转换法中，需要先写出一个给定的数 \(x\) 在标准三进制中的表示。当 \(x\) 是用标准三进制表示时，其数字的每一位都是 \(0、1\) 或 \(2\)。从最低的数字开始迭代，我们可以先跳过任何的 \(0\) 和 \(1\)，但是如果遇到 \(2\) 就应该先将其变成 \(Z\)，下一位数字再加上 \(1\)。而遇到数字 \(3\) 则应该转换为 \(0\) 下一位数字再加上 \(1\)。
应用一
把 \(64\) 转换成平衡三进制。
首先，我们用标准三进制数来重写这个数：
\(\text 64_{10} = 02101_3\)
让我们从对整个数影响最小的数字（最低位）进行处理：
- \(101\) 被跳过（因为在平衡三进制中允许 \(0\) 和 \(1\)）；
- \(2\) 变成了 \(Z\)，它左边的数字加 \(1\)，得到 \(1Z101\)；
- \(1\) 被跳过，得到 \(1Z101\)。
最终的结果是 \(1Z101\)。
我们再把它转换回十进制：
\(\texttt {1Z101}=81 \times 1 +27 \times (-1) + 9 \times 1 + 3 \times 0 + 1 \times 1 = 64_{10}\)
应用二
把 \(237\) 转换成平衡三进制。
首先，我们用标准三进制数来重写这个数：
\(\text 237_{10} = 22210_3\)
- \(0\) 和 \(1\) 被跳过（因为在平衡三进制中允许 \(0\) 和 \(1\)）；
- \(2\) 变成 \(Z\)，左边的数字加 \(1\)，得到 \(23Z10\)；
- \(3\) 变成 \(0\)，左边的数字加 \(1\)，得到 \(30Z10\)；
- \(3\) 变成 \(0\)，左边的数字（默认是 \(0\)）加 \(1\)，得到 \(100Z10\)；
- \(1\) 被跳过，得到 \(100Z10\)。
最终的结果是 \(100Z10\)。
我们再把它转换回十进制：
\(\texttt{100Z10} = 243 \cdot 1 + 81 \cdot 0 + 27 \cdot 0 + 9 \cdot (-1) + 3 \cdot 1 + 1 \cdot 0 = 237_{10}\)
性质
对于一个平衡三进制数 \(X_3\) 来说，其可以按照每一位 \(x_i\) 乘上对应的权值 \(3^i\) 来唯一得到一个十进制数 \(Y_{10}\)。
那对于一个十进制数 \(Y_{10}\)，是否唯一对应一个平衡三进制数呢？
答案是肯定的，这种性质被叫做平衡三进制的唯一性。
证明
我们利用反证法来求证：
假设一个十进制数 \(Y_{10}\)，存在两个不同的平衡三进制数 \(A_3,B_3\) 转化成十进制时等于 \(Y_{10}\)，即证 \(A_3 = B_3\)。分情况讨论：
- 当 \(Y_{10}=0\)，显然 \(A_3 = B_3 = 0_3\)，与假设矛盾。
- 当 \(Y_{10}>0\)：
- 将 \(A_3，B_3\) 的数位按低位到高位编号，记 \(a_i\) 为 \(A_3\) 的第 \(i\) 位，\(b_i\) 为 \(B\) 的第 \(i\) 位。在 \(A_3,B_3\) 中，必存在 \(i\) 使得 \(a_i\neq b_i\)。可以发现第 \(i-1,i-2,\dots,0\) 位均与证明无关。因此，将 \(A_3,B_3\) 按位右移 \(i\) 位，得到 \(A_3',B_3'\)，原问题等价于证明 \(A_3'=B_3'\)。
- 对于 \(A_3',B_3'\) 第 \(0\) 位，\(a_0 \neq b_0\)。假设 \(b_0 > a_0\)（\(a_0>b_0\) 时结果相同），易知 \(b_0 - a_0 \in \{1,2\}\)。\(A_3'\) 的位 \(i=1,2,3,\dots\) 对于 \(A_3'\) 的值的贡献为 \(S_1 = a_1 \times 3^1 + a_2 \times 3^2+ \dots\)，\(B_3'\) 的位 \(i=1,2,3,\dots\) 对于 \(B_3'\) 的值的贡献为 \(S_2 = b_1 \times 3^1 + b_2 \times 3^2 + \dots\)。由于 \(A_3' = B_3'\)，得 \(S_1 - S_2 = b_0 - a_0\)。\(S_1,S_2\) 有公因子 \(3\)，而 \(b_0 - a_0\) 不能被 \(3\) 整除，与假设矛盾，因此 \(A_3'\neq B_3'\)
- 当 \(Y_{10}<0\)，证法与 \(Y_{10}>0\) 相同。
故对于任意十进制 \(Y_{10}\)，均有唯一对应的平衡三进制 \(X_3\)。
例题 Eva's Balance
题目大意
给你一个天平，和一些砝码，只是这些砝码有点特殊，它的重量是 \(1,3,9,27,\dots,3^n\)。让你把一些砝码和一个给定的重量的物体放在左边，另一些砝码放在右边，使天平平衡(每个砝码最多用一个)
题目思路
我们可以先把 \(n\) 转化成平衡三进制，然后把 \(n\) 与位值为 \(-1\) 放一边，其余的放在另一边，这样就可以使得数字各不相同，且两边相同。
题目代码
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <iostream>
using namespace std;
const int kMaxN = 110;
int a[kMaxN], T, n, ni;
int Pow(int a, int b) {
int s = 1;
for (; b > 0; (b & 1) && (s = s * a), a = a * a, b >>= 1) {
}
return s;
}
int main() {
for (cin >> T; T--;) {
cin >> n, ni = n;
memset(a, 0, sizeof(a));
for (int i = 0; ni; i++) {
a[i] = ni % 3;
ni = (ni - a[i]) / 3;
}
for (int j = 0; j < i; j++) {
(a[j] == 3) && (a[j] == 0, a[j + 1]++);
(a[j] == 2) && (a[j + 1]++, a[j] = -1);
}
int flag1 = 0, flag2 = 0;
for (int j = 0; j <= i; j++) {
(a[j] == -1) && ((flag1) && (cout << ","), flag1 = 1, cout << Pow(3, j));
}
(!flag1) && (cout << "empty");
cout << ' ';
for (int j = 0; j <= i; j++) {
(a[j] == 1) && ((flag2) && (cout << ","), flag2 = 1, cout << Pow(3, j));
}
cout << '\n';
}
return 0;
}
