换根dp
换根dp
一般来说，我们做题的树都是默认 \(1\) 为根的。但是有些题目需要计算以每个节点为根时的内容。
朴素的暴力：以每个点 \(u\) 作为 \(root\) 暴力 \(dfs\) 下去，复杂度 \(O\left(n^2\right)\)。
正确的做法：换根dp，复杂度 \(O\left(n\right)\)。
执行步骤
- 第一次扫描，先默认 \(root=1\)，跑一遍 \(dfs\)；
- 第二次扫描，从 \(root=1\) 开始，每次从 \(u\) 到 \(v\) 节点时，计算根从 \(u\) 转移到 \(v\) 时的贡献变化。
很显然，换根dp是在两个 \(dfs\) 中完成的，下面我们介绍一下如何运用它。
例题1 Accumulation Degree
题目链接：South Central China 2008 Accumulation Degree
Description
给你一颗有 \(n\) 个节点的树，每一条边连接 \(u_i\) 和 \(v_i\)，流量为 \(fl_i\)，你需要找出一个点作为 \(root\)，并最大化从该点出发到所有叶子节点的流量最大值。
多组数据。（PS：题意读不懂的可以结合题目中的图理解，类似网络流的流法）
数据范围 \(1\le n\le2×10^5\)，并且 \(\sum n\le2×10^5\)
时间限制 \(1000 ms\)
Solution
我们先默认这棵树以 \(1\) 为根，跑一次 \(dfs\)。定义 \(flow_i\) 表示以 \(i\) 为根的子树中流量最大值。那么，\(u\) 节点从儿子 $v 得到的流量为：
- 若 \(v\) 为叶子节点，那么 \(flow_u+=flow_v\)（可以直接流过来）；
- 若 \(v\) 为非叶子节点，那么 \(flow_u+=min\left(flow_v,fl\left(u,v\right)\right)\)（\(u\) 和 \(v\) 相连的边有流量限制）。
这样，我们得到了以 \(1\) 为根时的答案，记为 \(f_1\)，它的值等于 \(flow_1\)。考虑如何换根。从 \(u\) 为根转移到儿子 \(v\) 为根，\(f_v\) 包括两部分：一部分是从 \(v\) 流向自己的子树，一部分是从 \(v\) 往父节点走。那么贡献的变化是第二部分造成的，原本的贡献是 \(flow_u-min\left(flow_v,fl\left(u,v\right)\right)\)，现在加上 \(u\) 到 \(v\) 这条边的流量限制，所以新的贡献是 \(min\left(fl\left(u,v\right),flow_u-min\left(flow_v,fl\left(u,v\right)\right)\right)\)。注意如果 \(u\) 的度为 \(1\)，则需要特殊处理。再来一个 \(dfs\) 转移即可。复杂度 \(O\left(n\right)\) ，可以通过本题。
