hdu 2643 Rank hdu 2512 一卡通大冒险 stirling (斯特灵数)的应用
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/*
第二类Stirling数是把包含n个元素的集合划分为正好k个非空子集的方法的数目。
递推公式为：
S(n,k) = 0(n<k||k=0),
S(n,n) = S(n,1) = 1,
S(n,k) = S(n-1,k-1) + kS(n-1,k).
*/
#include<stdio.h>
#define LL long long
#define nmax 101
#define nnum 20090126LL
LL num[nmax][nmax], fac[nmax];
void init() {
int i, j;
for (i = 1, fac[0] = 1; i < nmax; i++) {
fac[i] = fac[i - 1] * i % nnum;
}
for (i = 1; i < nmax; i++) {
num[i][1] = 1;
num[i][0] = 0;
}
for (i = 2; i < nmax; i++) {
for (j = 1; j < nmax; j++) {
if (i == j) {
num[i][i] = 1;
} else {
num[i][j] = (num[i - 1][j - 1] + num[i - 1][j] * j) % nnum;
}
}
}
}
int main() {
#ifndef ONLINE_JUDGE
freopen("in.data", "r", stdin);
#endif
init();
int T, N, i;
LL res;
while (scanf("%d", &T) != EOF) {
while (T--) {
scanf("%d", &N);
for (i = 1, res = 0; i <= N; i++) {
res += num[N][i] * fac[i];
res %= nnum;
}
printf("%I64d\n", res);
}
}
return 0;
}
hdu 2512
#include<stdio.h>
#define nmax 2001
#define nnum 1000
int num[nmax][nmax];
void init() {
int i, j;
for (i = 1; i < nmax; i++) {
num[i][0] = 0, num[i][1] = 1;
}
for (i = 2; i < nmax; i++) {
for (j = 1; j < nmax; j++) {
if (i == j) {
num[i][i] = 1;
continue;
}
num[i][j] = (num[i - 1][j - 1] + num[i - 1][j] * j) % nnum;
}
}
}
int main() {
#ifndef ONLINE_JUDGE
freopen("in.data", "r", stdin);
#endif
int n, x, i, res;
init();
while (scanf("%d", &n) != EOF) {
while (n--) {
scanf("%d", &x);
for (i = 1, res = 0; i <= x; i++) {
res += num[x][i];
res %= nnum;
}
printf("%d\n", res);
}
}
return 0;
}
Bell数，又称为贝尔数。
是以埃里克·坦普尔·贝尔(Eric Temple Bell)为名的。
B(n)是包含n个元素的集合的划分方法的数目。
B(0) = 1, B(1) = 1, B(2) = 2, B(3) = 5,
B(4) = 15, B(5) = 52, B(6) = 203,...
递推公式为，
B(0) = 1,
B(n+1) = Sum(0,n) C(n,k)B(k). n = 1,2,...
其中，Sum(0,n)表示对k从0到n求和，C(n,k) = n!/[k!(n-k)!]
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Stirling数，又称为斯特灵数。
在组合数学，Stirling数可指两类数，都是由18世纪数学家James Stirling提出的。
第一类Stirling数是有正负的，其绝对值是包含n个元素的集合分作k个环排列的方法数目。
递推公式为，
S(n,0) = 0, S(1,1) = 1.
S(n+1,k) = S(n,k-1) + nS(n,k)。
第二类Stirling数是把包含n个元素的集合划分为正好k个非空子集的方法的数目。
递推公式为，
S(n,n) = S(n,1) = 1,
S(n,k) = S(n-1,k-1) + kS(n-1,k).
将n个有区别的球的球放入k个无标号的盒子中( n>=k>=1，且盒子不允许为空)的方案数就是stirling数.(即含 n 个元素的集合划分为 k 个集合的情况数)
递推公式:
S(n,k) = 0 (k > n)
S(n,1) = 1 (k = 1)
s(n,k)=1 (n=k)
S(n,k) = S(n-1,k-1)+k*S(n-1,k) (n >= k >= 2)
分析：设有n个不同的球，分别用b1,b2,...,bn表示。从中取出一个球bn，bn的放法有以下两种：
1.bn独占一个盒子，那么剩下的球只能放在k-1个盒子里，方案数为S（n-1,k-1);
2.bn与别的球共占一个盒子，那么可以将b1,b2,...,bn-1这n-1个球放入k个盒子里，然后将bn放入其中一个盒子中，方案数为k*S(n-1,m).
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bell数和stirling数的关系为，
每个贝尔数都是"第二类Stirling数"的和。
B(n) = Sum(1,n) S(n,k).
