线性代数——向量1
向量(vector)
向量: \(n\)个数\(a_1,a_2,···,a_n\)组成的有序数组\((a_1,a_2,···,a_n)\)被称作向量,分量数称为向量的维数,向量可以写作行，称为行向量，如\((a_1,a_2,···,a_n)\)；向量写作列，称为列向量，如\(\left(\begin{matrix}a_1\\a_2\\···\\a_n\end{matrix}\right)\),本质上没有区别，但是形式上有区别。
零向量: 分量都是零的向量称为零向量。
向量的运算规律
两个同维向量的分量都相等，我们称这两个向量相等。
两个同维向量相加(相减)就是分别将每个分量相加(相减)
向量的数乘就是用数分别乘以每个分量
向量的线性关系
线性组合
\(β,α_1,α_2,···,α_n\)是\(m\)维向量,若存在\(k_1,k_2,···,k_n\),使得
\(β=k_1α_1+k_2α_2+···+k_nα_n\)成立，则称\(β\)是\(α\)向量组的线性组合或者\(β\)是\(α\)向量组的线性表示,\(k_1,k_2,···,k_n\)称为组合系数。
性质
- 零向量可由任意向量组表示
- 向量组中任取一个向量可由该向量组表示
- 任意向量均可由\(ε_1=(1,0,···,0),ε_2=(0,1,0,···,0),···,ε_n=(0,0,···,0,1)\)表示
向量组的等价
两个同维向量组可以相互线性表示，则称这两个向量组等价
- 反身性:一个向量组和自己是等价的
- 对称性:一个向量组\(A\)和另一个向量组\(B\)是等价的，那么向量组\(B\)和向量组\(A\)也是等价的
- 传递性:如果向量组\(A\)和向量组\(B\)等价，向量组\(B\)和向量组\(C\)是等价的，那么向量组\(A\)和向量组\(C\)也是等价的
线性相关与线性无关
如果\(α_1,α_2,···,α_n\)是\(n\)个\(m\)维向量，若存在一组不全为\(0\)的\(k_1,k_2,···,k_n\)使得\(k_1α_1+k_2α_2+···+k_nα_n=0\)，则认为\(α_1,α_2,···,α_n\)是线性相关。
线性无关:
- 不是线性相关
- 找不到一组不全为0的\(k_1-k_n\)使得\(k_1α_1+k_2α_2+···+k_nα_n=0\)成立
- \(k_1α_1+k_2α_2+···+k_nα_n=0\)成立时，\(k_1,···,k_n\)必全为\(0\)
结论
- 向量组中两个向量成比例，那么这个向量组是线性相关。
- 含有零向量 的任意向量组必线性相关。
- 一个零向量 必线性相关
- 一个非零向量 必线性无关
- 一个向量\(α\)线性相关的充要条件是\(α=0\)
- 如果\(α_1,···,α_r\)线性相关，那么\(α_1,···,α_r,α_{r+1},···,α_s\)线性相关即部分组线性相关，整体组线性相关，推论是整体组线性无关，部分组也线性无关
- 如果\(α_1=(α_{11}···α_{1r})\),\(α_2=(α_{21}···α_{2r})\),\(···\),\(α_m=(α_{m1}····α_{mr})\)是线性无关的，那么\(γ_1=(α_{11}···α_{1r}α_{1{r+1}}···α_{1n})\),\(γ_2=(α_{21}···α_{2r}α_{2{r+1}}···α_{2n})\),\(···\),\(γ_m=(α_{m1}···α_{mr}α_{m{r+1}}···α_{mn})\)也是线性无关。即线性无关的向量组，每个向量增加几个分量组成的新的向量组(接长向量组)也是线性无关的，逆否命题：一个线性相关的向量组每个向量去掉几个分量组成的新的向量组(截短向量组)也是线性相关的
- \(n\)个\(n\)维向量(\(n\)维向量:向量的个数=向量的维数)构成的行列式\(D\neq0\)，那么这\(n\)个\(n\)位向量线性无关，相反的，\(D=0\)时，他们线性相关。
- \(n\)为单维向量组,\(ε_1···ε_n\)线性无关
定理
- \(α_1,···,α_s\)线性相关的充要条件是至少一个向量可由其余向量表示
- 如果\(α_1,···,α_s\)线性无关，\(α_1,···,α_s,β\)线性相关，那么\(β\)可由\(α_1,···,α_s\)唯一线性表示
- 如果 \(\alpha_1\dots\alpha_s\)可由\(\beta_1\dots\beta_t\)线性表示，则\(s\leq t\)，逆否命题:\(\alpha_1\dots\alpha_s\)可由\(\beta_1\dots\beta_t\)线性表示，如果\(s>t\)，那么\(\alpha_1\dots\alpha_s\)线性相关
推论
- 如果\(m>n\)，那么\(m\)个\(n\)维向量线性相关。
- 两个等价的线性无关的向量组含向量的个数是相同的。
