线性代数——矩阵1
矩阵(Matrix)
不要把矩阵放在分母上
矩阵的概念
有m×n个数排成的m行n列的数表称为m行n列的矩阵，简称m×n。记作
这m×n个数称为矩阵A的元素，简称为元，数aij位于矩阵A的第i行第j列，称为矩阵A的(i,j)元，以数 aij为(i,j)元的矩阵可记为(aij)或(aij)m × n，m×n矩阵A也记作Amn
实矩阵是指矩阵中所有数都是实数的矩阵。
复矩阵是指元素中含有复数的矩阵。
行矩阵是指只有一行的矩阵。
列矩阵是指只有一列的矩阵。
零矩阵是指元素都是0的矩阵，记作"0"。
负矩阵：将原矩阵的所有元素取相反数后得到的矩阵是原矩阵的负矩阵。
方阵是指行数和列数相等的矩阵，记作An，n为阶数。
单位矩阵是指主对角线全为1，剩余为0的矩阵，记作E或者I，E3代表3阶单位矩阵。
同型矩阵:如果两个或者两个以上的矩阵的行数和列数相同，那么我们就说这两个或两个以上是同型矩阵。
矩阵的运算
加法
两个矩阵相加就是对应元素相加(同型矩阵才能相加减)，例
加法交换律:A+B=B+A
加法结合律:(A+B)+C=A+(B+C)
A+0=A
A+(-A)=0
减法
两个矩阵相减就是对应元素相减(同型矩阵才能相加减)，例
矩阵的数乘运算
数乘：一个数乘以一个矩阵就是该数乘以该矩阵中的所有元素。
即
矩阵提公因子:当矩阵所有元素均有公因子k，该公因子外提一次。
k(A+B)=kA=kB
(k+l)A=kA+lA
k(lA)=(kl)A
矩阵的乘法
矩阵相乘的前提条件:第一个矩阵的列数=第二个矩阵的行数
结果矩阵
- 结果矩阵的行数=第一个矩阵的行数
- 结果矩阵的列数=第二个矩阵的列数
与行列式相似，第一行乘以第一列的和作为第一行第一列的数字，第一行乘以第二列的和作为第一行第二列的数字···以此类推。
例
AB不等于BA AB有意义的时候BA不一定有意义
如果AB=BA，那么AB是可交换的。
AB中，A为左乘，B为右乘
AB=0推不出A=0或B=0
AB=AC，A不等于0推不出B=C
零矩阵与任何矩阵相乘都等于0(需要符合矩阵相乘的条件)
任何矩阵与单位矩阵E相乘，都等于原矩阵
矩阵相乘的运算规律:
乘法结合律:(AB)C=A(BC
分配率:(A+B)C=AC+BC,C(A+B)=CA+CB
k(AB)=(kA)B=A(kB)
AB可交换指的是AB=BA，且AB为同阶方阵。
矩阵的幂运算
A必须是方阵
A的k次方=AA···A(k个A相乘)
A的k1次方乘以A的k2次方=A的k1+k2次方
A的k1次方的k2次方=A的k1k2次方
因为AB不满足交换律，因此一般情况下
矩阵的转置
矩阵的转置与行列式的转置相同，也就是交换行和列
转置的性质
特殊矩阵(方阵)
数量矩阵
数与数量矩阵相乘或者两个数量矩阵相加仍然为数量矩阵。且是在a上进行加减乘。
(aE)B=B(aE)=aB
PS AE=EA=A中的单位矩阵E不一定是同一个单位矩阵.
对角形矩阵
数量矩阵是一种特殊的对角形矩阵
左乘相当于乘行
右乘相当于乘列
三角矩阵
上三角矩阵
下三角矩阵
主对角线以上为0，例
对称矩阵和反对称矩阵
对称矩阵
以主对角线为轴，上下相等，例
对称矩阵性质:
定理
A、B是对称矩阵，如果AB对称，那么他的充要条件是AB可交换。
反对称矩阵
以主对角线为轴，主对角线全为0，上下互为相反数，例
对称矩阵主对角线没有要求，但是反对称矩阵主对角线必须为0
反对称矩阵性质
