线性代数——行列式2

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按行展开

余子式：将行列式去掉某个元素所在的行和列，剩余的按照原来的位置组成的新的行列式称为这个元素的余子式，例

中第三行第二列的2的余子式为：

代数余子式:

定理(按某行(列)展开)

a表示元素第i行第n列的元素，A表示该元素所对应的代数余子式

a表示元素第n行第j列的元素，A表示该元素所对应的代数余子式

定理(异乘变零)
某行元素与另一行元素的代数余子式乘积之和等于0

拉普拉斯定理

k阶子式： 从行列式中选取两行两列，其交叉部分组成的行列式为二阶行列式，非选中部分组成的行列式为余子式，设选中部分的和为n，-1的n次方乘以余子式就是代数余子式。同样的，选取k行k列，交叉部分则为k阶行列式，非选中的行列为余子式，-1的n次方乘以余子式为代数余子式。
例:

选取二阶子式：

则余子式为

代数余子式为

拉普拉斯定理
选定k行，由k行组成的所有k阶子式与代数余子式乘积之和等于D
例

行列式相乘

同阶相乘

第一行乘以第一列的和作为第一行第一列的元素，第一行乘以第二列的和作为第一行第二列的元素，以此类推。
例

行列式计算

一般情况下化成上三角行列式

例1

例2

加边的要求：不能改变原行列式的值
字母放了分母上必须确定字母不为0

例3

例4
反对称行列式

1. 除对角线全为0
2. 上下位置对应相反数

如:

反对称行列式，奇数阶，D=0

对称行列式

1. 主对角线元素无要求
2. 上下对称相等
   

克莱姆(cramer)法则

克莱姆法则：又称克拉默法则，含有n个未知数x1,x2,···,xn的n个线性方程组的系数行列式不等于0，那么方程组有唯一解。

• 方程的个数等于未知数的个数
• D不等于0
• 由于计算量大，所以一般不用。
• 适用于计算机解题

定理1

定理2
齐次线性方程组: 常数项全部为0的线性方程组称为齐次线性方程组

齐次方程组，方程个数等于未知数的个数且D不等于0，则该方程组只有零解
齐次方程组，方程个数等于未知数的个数有非零解的充要条件为D=0