二分搜索（二）——（最小值最大化和最大值最小化）

　　有一类常见问题叫做最小值最大化或者最大值最小化。这类问题一般是用二分搜索来解决。

　　首先二分搜索解决的问题必须具备单调性这个性质，这是使用二分搜索的必要条件，我们分析两个问题。

　　1.最小值最大化：我们假设x为最大的最小值，那么x-1是满足条件的，但他并不满足最大，x+1是不满足条件的，假设我们左边界是L,右边界是R，我们二分一个答案ans，ans为最后一个满足条件的数，我们是不是可以类比二分搜索（一）中的last_less_equal()或者last_less()这个问题和这两者是差不多的。可以先阅读我的另一篇博文：二分搜索（一）——各种二分

　　2.最大值最小化：我们假设x为最小的最大值，那么x-1是不满足条件的，x+1是满足条件的，但他不满足最小，假设我们左边界是L,右边界是R，我们二分一个答案ans，ans为第一个满足条件的数，我们是不是可以类比二分搜索（一）中的lower_bound()或者upper_bound()这个问题和这两者是差不多的。

　　所以综上所述并根据我在二分搜索（一）——各种二分中的描述：最小值最大化的二分区间是右闭左开(L,R]，每次二分的中心为M=(L+R+1)/2；最大值最小化的二分区间是左闭右开，[L,R),每次二分的中心为M=(L+R)/2。

　　例题1：LA3971-3971——Assemble

　　　题目意思：你有b块钱，想要组装一台电脑。给出n个配件格子的种类,品质因子和价格，要求每种类型的配件各买一个，总价格不超过b，且品质最差的配件的品质因子尽量大。

　　　思路：这很明显是一个最小值最大化的问题，这道题还用到map对物品按名称进行分类，注意多组输入，要对上一组的数据进行清空，我们可以看出二分边界L=-1，R=maxq（所有商品中品质因子的最大值。），也就是右闭左开区间（L,R]，我们搜索最后一个满足条件的ans值，具体看代码吧。

　　　代码：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N=1000+7;
map<string,int>mp;
struct node{
    int p,q;    
};
vector<node>a[N];
int cnt=0,n,b;
int check(int M){
    long long sum=0;
    for(int i=0;i<cnt;i++){
        int minn=b+10;
        for(int j=0;j<(int)a[i].size();j++){
            if(a[i][j].q>=M){
                minn=min(minn,a[i][j].p);
            }
        }
        sum+=minn;
        if(sum>b) return 0;
    }
    return 1;
}
int main(){
    int T;cin>>T;
    while(T--){
        cin>>n>>b;    
        for(int i=0;i<cnt;i++) a[i].clear();
        cnt=0;
        int L=-1,R=0;
        for(int i=0;i<n;i++){
            string type,name;
            int p,q;
            cin>>type>>name>>p>>q;
            if(mp.count(type)==0){
                mp[type]=cnt++;
            }
            R=max(R,q);
            a[mp[type]].push_back({p,q});
        }
        while(L<R){
            int M=(L+R+1)/2;
            if(check(M)) L=M;
            else R=M-1;
        }
        cout<<R<<endl;
    }
    return 0;
}

 　　

　　例题2：openjudge-2456——Aggressive cows

　　　 题目意思：农民约翰有用C只牛，然后他有N个隔间，每个隔间都有自己的坐标位置（一维的）pos，如何安排把牛安排进隔间才能使，所有牛之间距离的最小值最大，我们不需要求这个分配方案，我们只需要求这个最小距离的最大值，很裸的最小值最大化。

　　　 思路：直接看代码吧

　　　 代码：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long LL;
const int N=1e5+7;
LL n,c,a[N];
int check(int M){
    LL t=c-1,pre=0;
    for(int i=1;i<n;i++){
        if(a[i]-a[pre]>=M){
            t--;
            pre=i;
        }
        if(t==0) break;
    }
    return t==0;    
}
int main(){
    cin>>n>>c;    
    long long minn=0x3f3f3f3f,maxx=-0x3f3f3f3f;
    for(int i=0;i<n;i++){
        cin>>a[i];
        minn=min(a[i],minn); maxx=max(a[i],maxx);
    }
    sort(a,a+n);
    int L=0,R=maxx-minn;    
    while(L<R){
        int M=(L+R+1)/2;
        if(check(M)) L=M;
        else R=M-1;
    }
    cout<<R<<endl;
    return 0;
}

 

　　例题3：openjudge-4135——Monthly Expense

　　　题目意思：共n个月,给出每个月的开销.将n个月划分成m个时间段,求m个时间段中开销最大的时间段的最小开销值。

　　　思路：最大值最小化，直接看代码吧

　　　代码：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int n,m;
vector<int>a;
int check(int M){
    int ct=0,now=0;
    for(int i=0;i<n;i++){
        if(a[i]>M) return 0;
        if(now+a[i]>M){
            ct++;
            now=0;    
        }    
        now+=a[i];
    }
    return ct<m;
}
int main(){
    cin>>n>>m;
    a.resize(n);
    int R=0,L=0;
    for(int i=0;i<n;i++){
        cin>>a[i];
        R+=a[i];
        L=max(L,a[i]);
    }
    R++;    
    while(L<R){
        int M=(L+R)/2;
        if(check(M)) R=M;
        else L=M+1;
    }
    cout<<L<<endl;
    return 0;
}