二分搜索(一)—— 各种二分
由于常年二分写成死循环,所以是时候有必要总结一下二分搜索了,这里声明一下本人的二分风格是左闭右开也就是[L,R)。
这里就不解释什么是二分搜索了,这里将会介绍4种二分搜索,和二分搜索常用来解决的最小值最大化或者最大值最小化的问题,我们都知道使用二分的最基本条件是,我们二分的序列需要有单调性,这里的序列是广义性如:1.一个排好序的数组; 2.一个区间[L,R);3.其他(暂时想不到)。所以下面介绍的时候会用v来代表我们二分的目标,用第一个大于v,第一个大于等于v,最后一个小于v,最后一个小于等于v来描述,这里可以看到我即将要介绍的4种二分搜索。
1.第一个大于等于v
这就是我们常说的lower_bound()了,这是系统里面自带的库函数,在数组或者一个vector容器中二分的时候,也就是不是必须手写二分的时候首推使用这个,优点代码少,稳定(建议少装逼,动不动手写二分)。这里我们来介绍lower_bound()的使用方式。
首先是这个函数原型:
ForwardIterator lower_bound (ForwardIterator first, ForwardIterator last,const T& val, Compare comp)
其中first代表左边界迭代器,last代表右边界迭代器(注意左闭右开),val代表你要搜索的值,comp代表排序规则(这个参数在你对非结构体数组二分的时候并不需要,有默认规则)
实例:
int a[100]={1,2,3,3,4,5,5,6,8,9,22},n; while(cin>>n){ int p=lower_bound(a,a+11,n)-a; //如果a是vector,那么lower(a.begin(),a.end(),v)-a.begin(); //你也可以在指定在[L,R)区间内二分lower_bound(a.begin()+L,a.begin()+R,v)-a.begin(),数组也是同理的 cout<<p<<endl;//这里输出的是第一个大于等于n的数的下标 }
当对结构体数组进行二分搜索时(我们可以在这里继续输入上面代码的初始化的数据)
#include<bits/stdc++.h> using namespace std; struct node{ int x; }; int cmp(node a,node b){ return a.x<b.x;//注意这里不可以a.x<=b.x不然lower_bound就变成upper_bound了 } int main(){ int n;cin>>n; vector<node>a(n); node b; for(int i=0;i<n;i++) cin>>a[i].x; while(cin>>b.x){ int p=lower_bound(a.begin(),a.end(),b,cmp)-a.begin(); cout<<p<<endl;//输出还是下标 } return 0; }
这里我们介绍的是当数组是升序的时候的情况,如果数组是降序的,我们则需要重新定义排序规则,我们这里在使用lower_bound()就是寻找第一个小于等于v的下标。
学会了如何使用库函数,现在我们来学习一下如何手写一个lower_bound(),我们知道二分有一个左边界L和右边界R,我们定义[L,R)内的下标都小于v,我们假设L为当前区间的答案,R为当前区间的实际答案(因为R是第一个大于等于v的下标),我们每次二分的实际上是为了让L和R不断靠近,所以当L==R的时候,我们假设的答案等于实际的答案,那么就结束循环了,返回答案L。
#include<bits/stdc++.h> using namespace std; int main(){ int a[100]={1,2,3,3,4,5,5,6,8,9,22},v; while(cin>>v){ int L=0,R=11; while(L<R){ int M=(L+R)/2; if(a[M]>=v) R=M; else L=M+1; } cout<<L<<endl; } return 0; }
注:1.当a[M]>=n时,由于R是第一个大于等于v下标,那么R最大只能是m
2.当a[M]<n时,说明[M,R)区间内的下标都是小于v的,L作为最后的答案最小只能是M+1
2.第一个大于v
这就是我们常说的upper_bound()了,这是系统里面自带的库函数,这里我们来介绍upper_bound()的使用方式,和lower_bound()在可以使用的时候推荐使用。
首先函数原型:
ForwardIterator upper_bound (ForwardIterator first, ForwardIterator last,const T& val, Compare comp);
其中first代表左边界迭代器,last代表右边界迭代器(注意左闭右开),val代表你要搜索的值,comp代表排序规则(这个参数在你对非结构体数组二分的时候并不需要,有默认规则)
实例:
int a[100]={1,2,3,3,4,5,5,6,8,9,22},n; while(cin>>n){ int p=upper_bound(a,a+11,n)-a; //如果a是vector,那么upper_bound(a.begin(),a.end(),v)-a.begin(); //你也可以在指定在[L,R)区间内二分upper_bound(a.begin()+L,a.begin()+R,v)-a.begin(),数组也是同理的 cout<<p<<endl;//这里输出的是第一个大于等于n的数的下标 }
当对结构体数组进行二分搜索时(我们可以在这里继续输入上面代码的初始化的数据)
#include<bits/stdc++.h> using namespace std; struct node{ int x; }; int cmp(node a,node b){ return a.x<=b.x;//注意这里不可以a.x<=b.x不然upper_bound就变成lower_bound了 } int main(){ int n;cin>>n; vector<node>a(n); node b; for(int i=0;i<n;i++) cin>>a[i].x; while(cin>>b.x){ int p=upper_bound(a.begin(),a.end(),b,cmp)-a.begin(); cout<<p<<endl;//输出还是下标 } return 0; }
这里我们介绍的是当数组是升序的时候的情况,如果数组是降序的,我们则需要重新定义排序规则,我们这里在使用upper_bound()就是寻找第一个小于v的下标。
学会了如何使用库函数,现在我们来学习一下如何手写一个upper_bound(),同样的,我们定义[L,R)内的下标都小于等于v,我们假设L为当前区间的答案,R为当前区间的实际答案(因为R是第一个大于v的下标),我们每次二分的实际上是为了让L和R不断靠近,所以当L==R的时候,我们假设的答案等于实际的答案,那么就结束循环了,返回答案L。
#include<bits/stdc++.h> using namespace std; int main(){ int a[100]={1,2,3,3,4,5,5,6,8,9,22},v; while(cin>>v){ int L=0,R=11; while(L<R){ int M=(L+R)/2; if(a[M]>v) R=M; else L=M+1; } cout<<L<<endl; } return 0; }
注:1.当a[M]>n时,由于R是第一个大于v下标,那么R最大只能是M
2.当a[M]<=n时,说明[M,R)区间内的下标都是小于等于v的,L作为最后的答案最小只能是M+1
3.最后一个小于等于v
上面说过了,当数组为降序的,使用lower_bound就是返回第一个小于等于下标,若一开始数组是升续的时候,那么应该先reverse一下,再用lower_bound返回下标p,则在原数组中的下标为n-p-1(假设数组有n个元素)。
这里来介绍一下如何在如果手写一个last_less_equal()。和lower_bound二分区间[L,R)左闭右开不同,last_less_equal()的二分区间为(L,R]右闭左开。
同样的,我们定义(L,R]内的下标都大于v,我们假设R为当前区间的答案,L为当前区间的实际答案(因为L是最后一个小于等于v的下标),我们每次二分的实际上是为了让L和R不断靠近,所以当L==R的时候,我们假设的答案等于实际的答案,那么就结束循环了,返回答案L。
#include<bits/stdc++.h> using namespace std; int main(){ int a[100]={1,2,3,3,4,5,5,6,8,9,22},v; while(cin>>v){ int L=-1,R=10; while(L<R){ int M=(L+R+1)/2; if(a[M]<=v) L=M; else R=M-1; } cout<<L<<endl; } return 0; }
注:1.当a[M]<=n时,由于L是最后一个小于等于v下标,那么L最小只能是M。
2.当a[M]>n时,说明(L,M]区间内的下标都是大于v的,R作为最后的答案最大只能是M-1。
4.最后一个小于v
上面说过了,当数组为降序的,使用upper_bound就是返回第一个大于下标,若一开始数组是升续的时候,那么应该先reverse一下,再用upper_bound返回下标p,则在原数组中的下标为n-p-1(假设数组有n个元素)。
这里来介绍一下如何在如果手写一个last_less()。和upper_bound二分区间[L,R)左闭右开不同,last_less_equal()的二分区间为(L,R]右闭左开。
同样的,我们定义(L,R]内的下标都大于等于v,我们假设R为当前区间的答案,L为当前区间的实际答案(因为L是最后一个小于v的下标),我们每次二分的实际上是为了让L和R不断靠近,所以当L==R的时候,我们假设的答案等于实际的答案,那么就结束循环了,返回答案L。
#include<bits/stdc++.h> using namespace std; int main(){ int a[100]={1,2,3,3,4,5,5,6,8,9,22},v; while(cin>>v){ int L=-1,R=10; while(L<R){ int M=(L+R+1)/2; if(a[M]<v) L=M; else R=M-1; } cout<<L<<endl; } return 0; }
注:1.当a[M]<n时,由于L是最后一个小于v下标,那么L最小只能是M。
2.当a[M]>=n时,说明(L,M]区间内的下标都是大于等于v的,R作为最后的答案最大只能是M-1。
我们发现lower_bound()和upper_bound()的M=(L+R)/2,而last_less()和last_less_equal()的M=(L+R+1)/2,(L+R)/2和(L+R+1)/2的区别在于前者是向下取整,后者是向上取整,这和我们定义L或者R是实际的答案有关。
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