快速幂算法

1 简介

​ 快速幂（平方求幂）算法，是一种计算乘方的简单有效的算法，它可以在O(log n)的时间复杂度下进行求幂操作。快速幂算法的数学表示如下：

$$a^n=\{\begin{array}{ll}{a}^{n-1}\ast a，& \text{if n is odd}\\ a^{\frac{n}{2}}\ast a^{\frac{n}{2}},& \text{if n is even but not 0}\\ 1,& \text{if n = 0}\end{array}$$

2 分析

​ 为什么快速幂算法能够在O(log n)的时间复杂度下工作呢？

​ 我们以$2^{10}$为例进行分析：

​ 方法1：最朴素的想法，$2\ast 2=4，4\ast 2=8,...,$ 一步一步算，共进行了9次乘法。

​ 这样算无疑太慢了，尤其对计算机的CPU而言，每次运算只乘上一个个位数，无疑太屈才了。这时我们想到，也许可以拆分问题。

​ 方法2：先算2的5次方，即$2\ast 2\ast 2\ast 2\ast 2$，再算它的平方，共进行了5次乘法。

​ 但这并不是最优解，因为对于“2的5次方”，我们仍然可以拆分问题。

​ 方法3：先算$2\ast 2$得4，则2的5次方为$4\ast 4\ast 2$，再算它的平方，共进行了4次乘法。

​ 模仿这样的过程，我们得到一个在$O(\log n)$时间内计算出幂的算法，也就是快速幂

3 算法实现

递归实现：

public int qpow(int a, int n) {
    if(n == 0) {
        return 1;
    }else if(n % 2 == 1) {
        return qpow(a, n - 1) * a;
    } else {
        int temp = qpow(a, n / 2); // 注意不能直接return qpow(a, n / 2) * qpow(a, n / 2), 否则会退化为O(n)。
        return temp * temp;
    }
}

非递归实现

public int qpow(int a, int n) {
    int ans = 1;
    while(n ！= 0) {
    	if((n & 1) != 0) { // 判断二进制数的末位为0还是为1
        	ans *= a;
    	}
    	n >>= 1; // 将二进制数右移一位，也相当于/2
    	a *= a;   
    }
    return ans;
}

​ 非递归形式比较难以理解，作如下解释(以$2^{10}$为例)：

我们将幂指数n以二进制形式表示，则$2^{10}=2^{(1010{)}_2}$ ，我们可以将其拆成$2^{(1000{)}_2}\ast 2^{(10{)}_2}$。对于任意整数，我们都可以做类似的拆分。

最初ans为1，然后我们一位一位算：

1010的最后一位是0，所以$a^1$这一位不要。然后1010变为101，a变为$a^2$。

101的最后一位是1，所以$a^2$这一位是需要的，乘入ans。101变为10，a再自乘。

10的最后一位是0，跳过，右移，自乘。

然后1的最后一位是1，ans再乘上$a^8$。循环结束，返回结果。

针对如上所述过程，我们总结如下：

• 如果幂指数二进制表示的末位数为1，则需要将此时的a乘入ans中；

• 如果末位数为0， 则无需将a乘入ans，但是需要让$a=a^2$。

a依次变为$a^1,a^2,a^4,a^8,....$,只要对应的二进制末位数为1就将其乘入到ans中，否则就不乘入。这样对于$a^n$的求解，我们只需做${\log }_{2}n$次运算即可，从而达到$O(\log n)$的时间复杂度。