快速幂算法

1 简介

​ 快速幂（平方求幂）算法，是一种计算乘方的简单有效的算法，它可以在O(log n)的时间复杂度下进行求幂操作。快速幂算法的数学表示如下：

\[a^n = \begin{cases} a^{n - 1} * a， &\mbox{if n is odd}\\ a^{\frac{n}{2}} * a^{\frac{n}{2}}, &\mbox{if n is even but not 0} \\ 1, &\mbox{if n = 0} \end{cases} \]

2 分析

​ 为什么快速幂算法能够在O(log n)的时间复杂度下工作呢？

​ 我们以\(2^{10}\)为例进行分析：

​ 方法1：最朴素的想法，\(2*2=4，4*2=8, ...,\) 一步一步算，共进行了9次乘法。

​ 这样算无疑太慢了，尤其对计算机的CPU而言，每次运算只乘上一个个位数，无疑太屈才了。这时我们想到，也许可以拆分问题。

​ 方法2：先算2的5次方，即\(2*2*2*2*2\)，再算它的平方，共进行了5次乘法。

​ 但这并不是最优解，因为对于“2的5次方”，我们仍然可以拆分问题。

​ 方法3：先算\(2*2\)得4，则2的5次方为\(4*4*2\)，再算它的平方，共进行了4次乘法。

​ 模仿这样的过程，我们得到一个在\(O(\log n)\)时间内计算出幂的算法，也就是快速幂

3 算法实现

递归实现：

public int qpow(int a, int n) {
    if(n == 0) {
        return 1;
    }else if(n % 2 == 1) {
        return qpow(a, n - 1) * a;
    } else {
        int temp = qpow(a, n / 2); // 注意不能直接return qpow(a, n / 2) * qpow(a, n / 2), 否则会退化为O(n)。
        return temp * temp;
    }
}

非递归实现

public int qpow(int a, int n) {
    int ans = 1;
    while(n ！= 0) {
    	if((n & 1) != 0) { // 判断二进制数的末位为0还是为1
        	ans *= a;
    	}
    	n >>= 1; // 将二进制数右移一位，也相当于/2
    	a *= a;   
    }
    return ans;
}

​ 非递归形式比较难以理解，作如下解释(以\(2^{10}\)为例)：

我们将幂指数n以二进制形式表示，则\(2^{10} = 2^{(1010)_2}\) ，我们可以将其拆成\(2^{(1000)_2} * 2^{(10)_2}\)。对于任意整数，我们都可以做类似的拆分。

最初ans为1，然后我们一位一位算：

1010的最后一位是0，所以\(a^1\)这一位不要。然后1010变为101，a变为\(a^2\)。

101的最后一位是1，所以\(a^2\)这一位是需要的，乘入ans。101变为10，a再自乘。

10的最后一位是0，跳过，右移，自乘。

然后1的最后一位是1，ans再乘上\(a^8\)。循环结束，返回结果。

针对如上所述过程，我们总结如下：

• 如果幂指数二进制表示的末位数为1，则需要将此时的a乘入ans中；

• 如果末位数为0， 则无需将a乘入ans，但是需要让\(a = a^2\)。

a依次变为\(a^1, a^2, a^4, a^8, ....\),只要对应的二进制末位数为1就将其乘入到ans中，否则就不乘入。这样对于\(a^n\)的求解，我们只需做\(\log_2{n}\)次运算即可，从而达到\(O(\log n)\)的时间复杂度。