f(f(x))=-x, x是Int32,这类函数的抽象理解
两条像面试用的编程问题,和我的囧事 的第一题“设计一个函数f, 使得它满足:f(f(x))=-x,这里输入参数为32位整型”,很有意思。文中作者提及的几种解法很优雅。这里谈谈我的理解。下面的理解比原文繁琐,不过更适合推广到一般情况。
最直接的理解是f(x)=i*x;这里x是复数。但问题是输入参数是整数,f(x)就是复数了,无法再次作为参数输入。
我的第一直觉是:能不能用整数表示复数呢?
为了方便分析,下面的分析基础是整数是按原码来存储的(实际是按补码来存储的,需要进行补码和原码之间的互换):
最初,我做了这样的设计:
这样,32位整数就可以表示一个复数a+bi了,其中,a,b属于[-(2^15-1),(2^15-1)]。然后分解x=a+bi,f(x)=f(a+bi)=(a+bi)*i=-b+ai
问题出来了,f(f(a+bi))=-a-bi。这样的话,得到下面结果:
实部和虚部的两个符号位都反号了,而正确的结果应该只是实部的符号反号。
下面进行修正:
这样,这种编码方式就可以表示复数集合:{a或ai|a属于[-(2^30-1),(2^30-1)]}。这样一来,使用f(x)=x*i这个函数就可以得到预想的结果了。并且,这个集合对这一计算封闭。
再进一步理解,跨越复数的概念。实际上,复数这里只是作为一种状态机存在的。我们用最高位和次高位(任何其它非最高位皆可)存储状态,其余位作为负载,则存在四种状态:(0,0),(0,1),(1,0),(1,1)。通过上面的复数模型进行推演,可以发现,只需要实现下面的状态机即可:
这个,就好实现了吧。实现方式也是多种多样的。
郑晖老师的实现从程序设计角度看是最优雅的:
template<typename T>
struct f2 {
T operator()(T x) {
if (x == 0)
return 0;
else if (x > 0)
return x & 1 ? x + 1 : 1 - x;
else
return x & 1 ? x - 1 : -x - 1;
}
};
这个实现可以看作是这种思路的一个特例。
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就在刚才,顺着状态机的思路,我设计了这样的一个简单的状态机:
if(x==0) return 0;
else if(x>0)
if(x>=max/2) return max-x;
else return –max +x;
else
if(x <= –max/2) return -x – max;
else return max - x;
哈哈,这个解法也简洁吧!不过这个可能在max/2时有点问题,跳不出去。简单的做法是再加个判断,让它在Max/2->-Max->-Max/2->Max->Max/2上跳。我再想想新状态机,争取更简洁点。
可以这样设计:
这样,就解决了Max/2的问题了:
if(x==0) return 0;
else if(x>0)
if(x>max/2) return x – max/2;
else return –max/2 -x;
else
if(x < –max/2) return x + max/2;
else return max/2 - x;
下面是代码:
public static Int32 Foo(Int32 x) { const Int32 halfMax = (Int32.MaxValue)/2; if(x==0) return 0; else if(x>0) { if (x > halfMax) return x - halfMax; else return -halfMax - x; } else { if (x < -halfMax) return x + halfMax; else return halfMax - x; } }
测试结果(Foo(Foo(x))):
10000 -10000
0 0
1 -1
-1 1
3 -3
-3 3
32767 -32767
-32768 32768
2147483647 1
-2147483648 -2
2147483646 -2147483646
-2147483647 -1
2147483645 -2147483645
-2147483646 2147483646
1073741824 -1073741824
-1073741824 1073741824
1073741823 -1073741823
-1073741823 1073741823
对Int32.MinValue,Int32.MaxValue,Int32.MinValue+1测试失败。