f(f(x))=-x, x是Int32,这类函数的抽象理解

两条像面试用的编程问题,和我的囧事 的第一题“设计一个函数f, 使得它满足:f(f(x))=-x,这里输入参数为32位整型”,很有意思。文中作者提及的几种解法很优雅。这里谈谈我的理解。下面的理解比原文繁琐,不过更适合推广到一般情况。

最直接的理解是f(x)=i*x;这里x是复数。但问题是输入参数是整数,f(x)就是复数了,无法再次作为参数输入。

我的第一直觉是:能不能用整数表示复数呢?

为了方便分析,下面的分析基础是整数是按原码来存储的(实际是按补码来存储的,需要进行补码和原码之间的互换):

最初,我做了这样的设计:

image

这样,32位整数就可以表示一个复数a+bi了,其中,a,b属于[-(2^15-1),(2^15-1)]。然后分解x=a+bi,f(x)=f(a+bi)=(a+bi)*i=-b+ai

问题出来了,f(f(a+bi))=-a-bi。这样的话,得到下面结果:

image

实部和虚部的两个符号位都反号了,而正确的结果应该只是实部的符号反号。

下面进行修正:

image

这样,这种编码方式就可以表示复数集合:{a或ai|a属于[-(2^30-1),(2^30-1)]}。这样一来,使用f(x)=x*i这个函数就可以得到预想的结果了。并且,这个集合对这一计算封闭。

再进一步理解,跨越复数的概念。实际上,复数这里只是作为一种状态机存在的。我们用最高位和次高位(任何其它非最高位皆可)存储状态,其余位作为负载,则存在四种状态:(0,0),(0,1),(1,0),(1,1)。通过上面的复数模型进行推演,可以发现,只需要实现下面的状态机即可:

image

这个,就好实现了吧。实现方式也是多种多样的。

郑晖老师的实现从程序设计角度看是最优雅的:

template<typename T>
struct f2 {
    T operator()(T x) {
        if (x == 0)
            return 0;
        else if (x > 0)
            return x & 1 ? x + 1 : 1 - x;
        else
            return x & 1 ? x - 1 : -x - 1;
    }
};

这个实现可以看作是这种思路的一个特例。

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就在刚才,顺着状态机的思路,我设计了这样的一个简单的状态机:

image 

if(x==0) return 0;
else if(x>0)
  if(x>=max/2) return max-x;
  else return –max +x;
else
  if(x <= –max/2) return -x – max;
  else return max - x;

哈哈,这个解法也简洁吧!不过这个可能在max/2时有点问题,跳不出去。简单的做法是再加个判断,让它在Max/2->-Max->-Max/2->Max->Max/2上跳。我再想想新状态机,争取更简洁点。

可以这样设计:

image

这样,就解决了Max/2的问题了:

if(x==0) return 0;
else if(x>0)
  if(x>max/2) return x – max/2;
  else return –max/2 -x;
else
  if(x < –max/2) return x + max/2;
  else return max/2 - x;

下面是代码:

        public static Int32 Foo(Int32 x)
        {
            const Int32 halfMax = (Int32.MaxValue)/2;
            if(x==0) return 0;
            else if(x>0)
            {
                if (x > halfMax) return x - halfMax;
              else return -halfMax - x;
            }
            else
            {
                if (x < -halfMax) return x + halfMax;
              else return halfMax - x;
            }
        }
(如果用 const Int32 halfMax = 1+(Int32.MaxValue)/2; 昨晚Milo Yip指对-1073741824测试出错,因此,又调回了const Int32 halfMax = (Int32.MaxValue)/2; )

测试结果(Foo(Foo(x))):

10000   -10000
0       0
1       -1
-1      1
3       -3
-3      3
32767   -32767
-32768  32768
2147483647      1
-2147483648     -2
2147483646      -2147483646
-2147483647     -1
2147483645      -2147483645
-2147483646     2147483646
1073741824      -1073741824
-1073741824     1073741824
1073741823      -1073741823
-1073741823     1073741823

对Int32.MinValue,Int32.MaxValue,Int32.MinValue+1测试失败。

posted @ 2010-03-04 16:57  xiaotie  阅读(2506)  评论(12编辑  收藏  举报