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回溯法

1、回溯法概述

• 回溯法可以系统的搜索一个问题的所有解或任一个解
• 它在包含问题的所有解的解空间树中，按照深度优先的策略，从根结点出发搜索解空间树。算法搜索到某一结点时，如果断定该结点肯定不包含问题的解，则跳过以该结点为根的子树的搜索，逐层向其祖先结点回溯
• 这种以深度优先方式搜索问题的解的方法称为回溯法

2、回溯法思想

• 第一步：为问题定义一个状态空间(state space)，这个空间必须至少包含问题的一个解
• 第二步：组织状态空间以便它能被容易地搜索。典型的组织方法是图或树
• 第三步：按深度优先的方法从开始结点进行搜索

1. 开始结点是一个活结点（也是E-结点：expansion node）
2. 如果能从当前的E-结点移动到一个新结点，那么这个新结点将变成一个活结点和新的E-结点，旧的E-结点仍是一个活结点。
3. 如果不能移到一个新结点，当前的E-结点就“死”了（即不再是一个活结点），那么便只能返回到最近被考察的活结点（回溯），这个活结点变成了新的E-结点。
4. 当我们已经找到了答案或者回溯尽了所有的活结点时，搜索过程结束。

3、回溯法如何提高效率？

• 由开始结点到当前E-结点构成解向量(x₁,…,x_i)
• 如果判定(x₁,…,x_i)不能导致最优解，那么就将可能要测试的m_i+1…m_n个向量略去。

      因此回溯法的测试次数比硬性处理作的测试次数要少得多。

回溯法的解需要满足一组综合的约束条件，通常分为：显式约束和隐式约束，显式约束条件限定每个x_i只从一个给定的集合上取值，隐式约束描述了x_i必须彼此相关的情况，如0/1背包问题中的背包重量M

4、回溯算法的形式描述

假设回溯算法要找出所有的答案结点而不是仅仅只找出一个。

设(x₁,x₂,…,x_i-1)是状态空间树中由根到一个结点(问题状态)的路径。

②　T(x₁,x₂,…,x_i-1)是下述所有结点的x_i的集合，它使得对于每一个x_i,(x₁,x₂,…,x_i)是一条由根到结点x_i的路径

③　存在一些限界函数B_i(可以表示成一些谓词)，如果路径(x₁,x₂,…,x_i)不可能延伸到一个答案结点,则B_i(x₁,x₂,…,x_i)取假值，否则取真值。

因此，解向量X(1:n)中的第i个分量就是那些选自集合T(x₁,x₂,…,x_i-1)且使B_i为真的x_i。

procedure  BACKTRACK(n)

  integer k, n; local X(1:n)

  k←1

  while k>0 do

     if 还剩有没检验过的X(k)使得

            X(k) ∈T(X(1),…X(k-1))  and  B(X(1),…X(k))=true

     then

            if(X(1),…,X(k)) 是一条已抵达一答案结点的路径

            then print(X(1),…,X(k)) endif

            k ←k+1

     else

            k ←k-1

     endif

  repeat

end BACKTRACK

5、效率分析应考虑的因素

      （1）生成下一个X(k)的时间

      （2）满足显式约束条件的X(k)的数目

      （3）限界函数B_i的计算时间

      （4）对于所有的i，满足B_i的X(k)的数目

6、应用

8-皇后问题

子集和数问题

图的着色问题

哈密顿环

背包问题