算法---->分治法

一、分治法

对于一个规模为n的问题，若该问题可以容易地解决（比如说规模n较小）则直接解决，

否则将其分解为k个规模较小的子问题，这些子问题互相独立且与原问题形式相同，递归地

解这些子问题，然后将各子问题的解合并得到原问题的解。这种算法设计策略叫做分治法。

二、一般步骤：

1. 划分步骤：在算法的这个步骤中，把输入的问题实例划分为k≥1 个子问题，每个实例的规模严格小于问题的原始规模n。一般来说，应尽量将k 个子问题的规模大致相同。k=2 是最通常的情况，有时也有k=1 的划分。

2. 治理步骤：当子问题的规模大于某个预定的阈值时，这个步骤是由k个递归调用组成的；如果子问题的规模小于阈值时则直接对问题进行求解。

3. 组合步骤：这个步骤是组合k 个子问题的解来得到期望的原问题的解。组合步骤对分治算法的性能起到非常关键的影响，算法的效率在很大程度上依赖于组合步骤地实现。

三、时间估计

 

四、例子

4.1、寻找具有n 个元素的数组a[0, n-1]中的最大与最小元素

种解决这个问题的方法是使用分治法：可以把数组a 分成大小相等的两个数组a1 和a2，在a1 和a2 中分别找出最大和最小元素，然后比较a1 和a2 中的最大和最小元素，两个最大元素中大的就是原数组中的最大元素，两个最小元素中小的就是原数组中的最小元素。为了要在a1 和a2 中找到最大与最小元素，可以重复上述过程，分别将a1 分为a11、a12 以及将a2 分为a21、a22，该过程可以一直进行下去，直到在某次分割后的数组中元素的个数少于三个的时候，此时最多只需要一次比较就可以找出该数组中的最大和最小元素。

4.2、选择问题

使用分治法在Θ(n)时间内就可以找到中项或第k小项的算法。

设计算法来寻找数组a 的中项或第k小元素：

⑴ 当n ≤n0时，直接对数组排序，返回第k个元素即可，否则转⑵。

⑵ 把元素划分为p = n/5组，每组5个元素，不足5 个元素的忽略。

⑶ 取每组的中项，构成一个规模为p 的数组M。

⑷ 对数组M 递归求出其中项mm。

⑸ 使用mm 将原数组分成3 部分：a1 存放小于mm的元素，a2 存放等于mm的元素，a3 存放大于mm 的元素。

⑹ 分三种情况分别处理a1、a2、a3

如果|a1|≥k，对a1 递归执行算法；否则

如果|a1|+|a2|≥k，mm 是第k 小元素，返回；否则

对a3 递归执行算法。

4.3、矩阵乘法

4.3.1、传统方法

4.3.2、简单分治法

 

划分步骤：将矩阵A、B 分成4 个n/2×n/2 的矩阵；

治理步骤：当n>1 时，递归计算8 个n/2×n/2 的矩阵的乘积；

组合步骤：计算治理步骤得到n/2×n/2 的矩阵的和。

4.3.3、Strassen矩阵乘法