1－N的自然数中，少了一个，找出这个数
问题1：1－N的自然数中，少了一个，找出这个数
(1)求和－容易溢出
Sum=1+2+...+N=(N+1)N/2，然后遍历数列每次从S1中减去当前的数字，最后剩下的数字就是所求。
为了防止溢出我们可以每次在S1大于一定的数字后，就去减，然后继续求和，再大于就继续减，以此类推。
public int find_Miss_Number_By_Sum(int array[], int n) {
int sum = 0;
if (array.length != n - 1)
throw new IllegalArgumentException("数组内的自然数目少于n-1");
for (int i : array) {
sum += i;
}
return n * (n + 1) / 2 - sum;
}
(2)异或^
Y＝1^2^3...^N，然后遍历数列每次异或当前的数字，最后剩下的就是要求的数字
任何数异或自己都等于0，任何数异或0都等于他自己
public int find_Miss_Number_By_XOR(int array[], int n) {
int result = 0;
if (array.length != n - 1)
throw new IllegalArgumentException("数组内的自然数目少于n-1");
for (int i = 0; i < array.length; i++) {
result = result ^ array[i];
}
for (int i = 0; i < n; i++) {
result=result^(i+1);
}
return result;
}
(3)O(N)时间的移动-排序
将a[i]移动到b[a[i]]，使得数组有序，然后找出空着的位置
public int find_Miss_Number_By_Sort(int array[], int n) {
int result = 0;
if (array.length != n - 1)
throw new IllegalArgumentException("数组内的自然数目少于n-1");
int b[] = new int[n];
for (int i = 0; i < array.length; i++) {
b[array[i] - 1] = array[i];
}
for (int i = 0; i < b.length; i++) {
if (b[i] == 0) {
result = i + 1;
break;
}
}
return result;
}
(4)O(NlogN)时间的移动－排序
用快排的思想，在1－N中选取游标X对数组快排一次，如果X被放在a[X-1]的位置上那么，要找的数字在X－N之间
否则X被放在a[X-2]的位置上 要找的数字在1－X-1之间 递归求解，直到找的要找的数字。
问题2：1－N个自然数，少了两个，找出这两个数
(1)求和－容易溢出
S1=1+2+...+N=(N+1)N/2
S2=12+22+...+N2=(N+1)(2N+1)N/6
import junit.framework.TestCase;
public class Find_Miss_Numbers_By_Sum_And_Mul extends TestCase {
//1－N的自然数中，少了一个，找出这个数
//方法：求和，求积 x1+x2 和 x1*x2都知道了以后，求出x1和x2
public void find_Miss_Number_By_Sum_and_Product(Integer array[]) {
int sum = 0; //保存缺少的两个数的和
int product = 1;//保存缺少的两个数的积
int n = array.length + 2;
// 1-n的自然数的和减去数组中所有元素的和，即为缺少的两个数之和
for (Integer i : array) {
sum += i;
}
sum = n * (n + 1) / 2 - sum;
// 1-n的自然数的积除以数组中所有元素，即为缺少的两个数之积
for (int j = 1; j < n + 1; j++) {
product = product * j;
}
for (Integer integer : array) {
product /= integer;
}
System.out.println("数组元素的和为" + sum);
System.out.println("数组元素的积为" + product);
System.out.println("缺少的第一个数为" + getSolution_left(sum, product));
System.out.println("缺少的第二个数为" + getSolution_right(sum, product));
}
// 根据x1+x2 和 x1*x2都x1和x2
public int getSolution_left(int sum, int product) {
return (int)(sum - Math.sqrt(sum * sum - 4 * product)) / 2;
}
public int getSolution_right(int sum, int product) {
return (int) (sum + Math.sqrt(sum * sum - 4 * product)) / 2;
}
public void test() {
Integer a[] = { 1, 2, 3, 5, 7, 8, 9 };
find_Miss_Number_By_Sum_and_Product(a);
}
}
对于少了K个数的情况，如果K很少，我们可以找出K个和上面类似的函数，计算总体值，然后用解K元一次方程得到结果，但要注意函数的选择
(2)异或
按照上面同样的方法，求出最后的值P等于两个数的异或
确定P从低位到高位的第一个1是第i位，现在用快排的思想，将数列分成两个区间A和B，其中A中第i位是0，B中的第i位是1，然后1-N中第i位是0的异或A,最后的结果就为缺少的第一个数。同理在B中求出第二个数（也可在求出第一个数后，用该数异或P,结果即为缺少的第二个数）。
import java.util.ArrayList;
import java.util.List;
import junit.framework.TestCase;
public class Find_Miss_Numbers_By_Xor extends TestCase {
/**
* @param array 包含所有整数的数组
* @param subArray 缺少整数的数组
* @return 缺少的整数的异或值
*/
public static int find_Miss_Number_By_XOR(Integer array[],Integer subArray[]) {
int result = 0;
for (Integer e : array) {
result ^= e;
}
for (Integer e : subArray) {
result ^= e;
}
return result;
}
// 获取最低位1的位置
public static int get_mid_By_xor_result(int number) {
int location = 0;
while (number % 2 == 0) {
location++;
number /= 2;
}
return location;
}
//返回一个数组中第i位为1的所有的数构成的数组
private static Integer[] divid_Array(Integer array[], int i) {
List<Integer> list = new ArrayList<Integer>();
for (Integer e : array) {
int temp = e;
for (int j = 0; j < i; j++) {
temp = e / 2;
}
if (temp % 2 == 1) {
list.add(e);
}
}
Integer[] result = new Integer[list.size()];
for (int j = 0; j < list.size(); j++) {
result[j] = list.get(j);
}
return result;
}
/**
* @param array 包含所有整数的数组
* @param subArray 缺少整数的数组
*/
public static void getMissNumber(Integer array[], Integer subArray[]) {
int xor = find_Miss_Number_By_XOR(array, subArray);
System.out.println("异或的结果为" + xor);
int mid = get_mid_By_xor_result(xor);
System.out.println("最低位1的位置" + mid);
// 数组A的元素为：
System.out.println("数组A的元素为：");
Integer[] array1 = divid_Array(array, mid);
for (Integer e : array1) {
System.out.print(e + "、");
}
// 数组B的元素为：
System.out.println();
System.out.println("数组B的元素为：");
Integer[] array2 = divid_Array(subArray, mid);
for (Integer e : array2) {
System.out.print(e + "、");
}
System.out.println();
System.out.println("缺少的第一个数为：");
int solution1 = find_Miss_Number_By_XOR(array1, array2);
System.out.println(solution1);
System.out.println("缺少的第二个数为：");
int solution2 = solution1 ^ xor;
System.out.println(solution2);
}
public static void main(String[] args) {
Integer array[] = { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9,10,11,12};
Integer subArray[] = { 1, 2, 4, 5, 6, 7, 8, 9,11,12 };
getMissNumber(array, subArray);
}
}
(3)O(N)时间移动－排序
跟上面一样，实际上这种方法对于少了K个数的情况都能适用。
import junit.framework.TestCase;
public class Find_Miss_Numbers_By_Move extends TestCase {
// 1－N的自然数中，少了一个，找出这个数
// 方法：将a[i]移动到a[a[i]]，使得数组有序，然后找出空着的位置
public void find_Miss_Number_By_Move(int array[], int n) {
int b[] = new int[n];
for (int i : array) {
b[i - 1] = i;
}
System.out.print("数组的元素为：");
for (int j : b) {
if (j != 0) {
System.out.print(j + "、");
}
}
System.out.println();
System.out.print("缺少的数为：");
for (int k = 0; k < b.length; k++) {
if (b[k] == 0) {
System.out.print(k + 1 + "、");
}
}
}
public void test() {
int a[] = { 1, 2, 4, 7, 8, 9 };
find_Miss_Number_By_Move(a, 9);
}
}
(4)O(NlogN)时间移动－排序
跟上面的方法一样
如果X被放在a[X-1]位置上，要找的两个数字在X－N之间
如果X被放在a[X-2]位置上，要找的数字一个在1-X-1间，一个在X-N之间
如果X被放在a[X-3]位置上，要找的数字都在1-X-1间
对于少了K个数字的情况，这种方法也可以做，但实现起来就比较复杂了
问题3：给你n个数，其中有且仅有一个数出现了奇数次，其余的数都出现了偶数次。用线性时间常数空间找出出现了奇数次的那一个数。
(1)异或
一个数跟自己偶数次异或是0，奇数次异或是自己
问题4：给你n个数，其中有且仅有两个数出现了奇数次，其余的数都出现了偶数次。用线性时间常数空间找出出现了奇数次的那两个数。
从头到尾异或一遍，你就得到了需要求的两个数异或后的值。这两个数显然不相等，异或出来的结果不为0。我们可以据此找出两个数的二进制表达中不同的一位，然后把所有这n个数分成两类，在那一位上是0的分成一类，在那一位上是1的分到另一类。对每一类分别使用前一个问题的算法。
代码和异或找两个数一样，将测试数据该成即可
public static void main(String[] args) {
Integer array[] = { 1,1,2, 2, 3,3,4, 4, 5,5,};
Integer subArray[] = { 1, 2,2, 3,4, 4, 5,5,};
getMissNumber(array, subArray);
}
