凸函数的驻点是全局最优点

利用凸函数的一阶特征

\[\forall x_1,x_2 \in S,\ f(x_2) \ge f(x_1)+\nabla f(x_1)^T(x_2-x_1) \]

假设\(\exists x^* \in D(f)\)为局部最优解，对于\(\forall x \in D(f)\)

\[f(x) \ge f(x^*)+\nabla f(x^*)^T(x-x^*) \]

因为\(x^*\)为驻点，所以

\[\nabla f(x^*)^T=0 \]

则

\[f(x) \ge f(x^*) \]

所以推出对于

\[\forall x \in D(f), \ f(x) \ge f(x^*) \]

证明了凸函数的驻点是全局最优点