2021牛客多校4 G/nowcoder 11255 G Product

题目链接：https://ac.nowcoder.com/acm/contest/11255/G

题目大意：计算\(\frac{D!}{\prod_{i,a_i\geqslant0,\sum a_i = D}^{n}(a_i+k)!}\)

题目思路：
首先考虑\(\frac{D!}{\prod_{i\sum a_i = D}^{n}a_i!}\)
参考大佬\(Alkaid~\)的证明
这个可以看做\(D\)个不同的球分为\(n\)组的情况，以拿球放球为例：把每组看成一个栈，假设\(D=10,n=4,a=\begin{Bmatrix}2,4,3,1\end{Bmatrix}\)，我们对每个球编号，取\(a_3=\begin{Bmatrix}1,4,7\end{Bmatrix}\)，有一种拿球顺序为\(\begin{Bmatrix}1,7,4,8,5,3,2,6,10,9\end{Bmatrix}\)，那么\(a_3\)的放球顺序为\(\begin{Bmatrix}4,7,1\end{Bmatrix}\)，另一种拿球顺序为\(\begin{Bmatrix}7,8,10,3,5,1,9,2,4,6\end{Bmatrix}\)，那么\(a_3\)的放球顺序为\(\begin{Bmatrix}4,1,7\end{Bmatrix}\)，总共有\(D!\)种拿球顺序，那么对于\(a_3\)就有\(a_3!\)种放球顺序，但实际上所有\(a_3\)都是情况，因此需要\(\frac{D!}{a_3!}\)，那么对于所有的情况就有\(\frac{D!}{\prod_{i\sum a_i = D}^{n}a_i!}\)，而每个球都有\(n\)种去向，因此

\[\frac{D!}{\prod_{i,a_i\geqslant0,\sum a_i = D}^{n}a_i!} = n^D \]

由此可得

\[\frac{(D+nk)!}{\prod_{i,a_i\geqslant k,\sum a_i = D+nk}^{n}(a_i+k)!} = n^{D+nk} \]

如果不考虑\(a_i<k\)的情况，答案

\[ans = \frac{D!}{(D+nk)!} n^{D+nk} \]

现在需要剔除所有\(a_i<k\)的情况，可以用容斥来做
设\(f_{i,j}\)表示\(j\)个球分为\(i\)个不合法组的方案数，那么通过枚举第\(j\)组的个数和球的分配情况，可以得到递推式

\[f_{i,j} = \sum_{t=0}^{k-1}f_{i-1,j-t}C_{j}^{t} \]

这里将\(j-t\)个球分配给前\(i-1\)的方案数前面已经计算过，即\(f_{i-1,j-t}\)，因此后面直接乘\(C_{j}^{t}\)即可
感谢大佬\(Spy_Savior\)的答疑
最后通过容斥得到

\[ans = \frac{D!}{(D+nk)!} \sum_{i=0}^{n}\sum_{j=0}^{i(k-1)}f_{i,j}C_{n}^{i}C_{D+nk}^{j}(n-i)^{D+nk-j} \]

其中\(C_{n}^{i}\)是取哪些组为不合法，\(C_{D+nk}^{j}\)是取哪些球放到这些不合法组里，这个数不能预处理，只能每次遍历时递推计算，\((n-i)^{D+nk-j}\)即剩下\(D+nk-j\)个球分为\(n-i\)组的合法情况

AC代码：

#include <algorithm>
#include <iostream>
#include <cstring>
#include <cstdio>
#include <vector>
#include <string>
#include <stack>
#include <deque>
#include <queue>
#include <cmath>
#include <map>
#include <set>
using namespace std;
//typedef __int128 int128;
typedef pair<int, int> PII;
typedef long long ll;
typedef unsigned long long ull;
const int INF = 0x3f3f3f3f;
const int N = 4e3 + 10, M = 1e5;
const int base = 1e9;
const int P = 131;
const int mod = 998244353;
const double eps = 1e-6;
ll n, k, D;
ll C[N][N], f[N][N];
ll ksm(ll a, ll b)
{
    ll res = 1 % mod;
    while (b)
    {
        if (b & 1)
            res = res * a % mod;
        a = a * a % mod;
        b >>= 1;
    }
    return res;
}
void init()
{
    for (int i = 0; i < N; ++i)
        for (int j = 0; j <= i; ++j)
        {
            if (j == 0)
                C[i][j] = 1;
            else
                C[i][j] = (C[i - 1][j] + C[i - 1][j - 1]) % mod;
        }

    f[0][0] = 1;
    for (int i = 0; i < n; ++i)
        for (int j = 0; j <= i * (k - 1); ++j)
            for (int t = 0; t < k; ++t)
                f[i + 1][j + t] = (f[i + 1][j + t] + f[i][j] * C[j + t][t] % mod) % mod;
}
int main()
{

    scanf("%lld%lld%lld", &n, &k, &D);
    init();
    ll ans = 0;
    for (int i = 0; i <= n; ++i)
    {
        ll CDJ = 1;
        for (int j = 0; j <= i * (k - 1); ++j)
        {
            ll res = i & 1 ? -f[i][j] : f[i][j];
            res = res * C[n][i] % mod * CDJ % mod * ksm(n - i, D + n * k - j) % mod;
            ans = (ans + res) % mod;
            CDJ = CDJ * (D + n * k - j) % mod * ksm(j + 1, mod - 2) % mod;
        }
    }
    for (ll i = D + 1; i <= D + n * k; ++i)
        ans = ans * ksm(i, mod - 2) % mod;
    ans = (ans % mod + mod) % mod;
    printf("%lld\n", ans);
    return 0;
}