01：常用算法

算法其他篇

目录：

• 1.1 常用查找方法
• 1.2 列表排序常用方法介绍
• 1.3 性能最差的三个排序
• 1.4 快排：快速排序中最简单的
• 1.5 堆排序
• 1.6 归并排序（递归调用）
• 1.7 快速排序，堆排序， 归并排序 比较
• 1.8 时间复杂度、空间复杂度和稳定性

算法刷题网站： https://leetcode-cn.com/problemset/all/

1.1 常用查找方法     返回顶部

 　　1、递归

　　　　1. 递归条件

　　　　　　　　1、 自己调用自己
　　　　　　　　2、 有结束条件

　　2、二分查找

l = list(range(1,101))
def bin_search(data_set,val):
   low = 0
   high = len(data_set) - 1
   while low <= high:
      mid = (low+high)//2
      if data_set[mid] == val:
         return mid
      elif data_set[mid] < val:
         low = mid + 1
      else:
         high = mid - 1
   return
n = bin_search(l,11)
print(n)            # 返回结果是： 10

1.2 列表排序常用方法介绍     返回顶部

　　1、常用排序方法

　　　　1、 性能最差的三个排序
　　　　　　1） 冒泡排序
　　　　　　2） 选择排序
　　　　　　3） 插入排序
　　　　2、 快速排序
　　　　3、 排序NB二人组
　　　　　　1） 堆排序
　　　　　　2） 归并排序

　　2、时间复杂度

　　　　　　1、循环减半的过程复杂度 O(logn)
　　　　　　2、几次循环就是n的几次方的复杂度

　　3、排序方法比较

                

1.3 性能最差的三个排序     返回顶部

　　1、冒泡排序代码（最好是O(n), 最坏O(n²)）　　

　　　　　　原理：拿自己与上面一个比较，如果上面一个比自己小就将自己和上面一个调换位置，依次再与上面一个比较，第
　　　　　　        一轮结束后最上面那个一定是最大的数

import random
def bubble_sort(li):
   for i in range(len(li) - 1):
      exchange = False
      for j in range(len(li) - i -1):  #内层for循环执行一次，选出一个最大值，将可以调换位置的数调整
         if li[j] > li[j + 1]:
            li[j],li[j+1] = li[j+1],li[j]
            exchange = True
      if not exchange:                # 如果上一趟没有发生交换就证明已经排序完成
         break
data = list(range(100))
random.shuffle(data)                  #将有序列表打乱
bubble_sort(data)
print(data)

#! /usr/bin/env pythonf
# -*- coding: utf-8 -*-
def bubble_sort(li):
    for i in range(len(li)-1):
        for j in range(len(li)-i-1):
            if li[j] > li[j+1]:
                li[j],li[j+1]=li[j+1],li[j]

li = [1,5,2,6,3,7,4,8,9,0]
bubble_sort(li)
print(li)               # [0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9]

　　2、选择排序

　　　　　　1、先假定第一个是最小的，依次与其他数比，如果其他数中有比第一个数小就假定这个更小的最小
　　　　　　2、再比，第一轮就可以找到最小的那个放到0号位置，然后在假定1号位置数最小与剩下比较，再找到第二小的数放到第1号位置

import random
def select_sort(li):
   for i in range(len(li) - 1):
      min_loc = i                #开始先假设0号位置的值最小
      for j in range(i+1, len(li)):      #循环无序区，依次比较，小于min_loc就暂定他的下标最小
         if li[j] < li[min_loc]:        #所以内层for循环每执行一次就选出一个小值
            min_loc = j
      li[i], li[min_loc] = li[min_loc],li[i]
data = list(range(100))
random.shuffle(data)        #将有序列表打乱
select_sort(data)
print(data)

import random
def select_sort(li):
   for i in range(len(li) - 1):
      min_loc = i                        #开始先假设0号位置的值最小
      for j in range(i+1, len(li)):      #循环无序区，依次比较，小于min_loc就暂定他的下标最小
         if li[j] < li[min_loc]:         #所以内层for循环每执行一次就选出一个小值
            min_loc = j
      li[i], li[min_loc] = li[min_loc],li[i]
       
li = [1,5,2,6,3,7,4,8,9,0]
select_sort(li)
print(li)               # [0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9]

　　3、插入排序（比如码牌）

　　　　　　1、列表被分为有序区和无序区两个部分，最初有序区只有一个元素
　　　　　　2、每次从无序区选择一个元素，插入到有序区的位置，直到无序区变空

import random

def insert_sort(li):
   for i in range(1, len(li)):
      tmp = li[i]     #tmp是无序区取出的一个数
      j = i - 1       #li[j]是有序区最大的那个数
      while j >= 0 and li[j] > tmp:
         # li[j]是有序区最大的数，tmp是无序区取出的一个数，tmp从有序区最大的那个数开始比
         # 小就调换位置，直到找到有序区中值不大于tmp的结束
         li[j+1]=li[j]    #将有序区最右边的数向右移一个位置
         j = j - 1
      li[j + 1] = tmp       #将tmp放到以前有序区最大数的位置，再依次与前一个数比较
data = list(range(100))
random.shuffle(data)        #将有序列表打乱
insert_sort(data)
print(data)

1.4 快排：快速排序中最简单的(递归调用)     返回顶部

　　注：倒序，和 列表中有大量重复元素时，时间复杂度很大

　　1、快排例子

　　　　　　注：快排代码实现（类似于二叉树 递归调用）----右手左手一个慢动作，右手左手一个慢动作重播

#!/usr/bin/env python
# -*- coding:utf-8 -*-
import random
import sys
sys.setrecursionlimit(10000000)             #设置系统最大递归深度

def quick_sort(data, left, right):
    if left < right:
        mid = partition(data, left, right)    # mid返回的是上一个用来排序那个数的下标
        quick_sort(data, left, mid - 1)
        quick_sort(data, mid + 1,right)

# 每执行一次partition函数都可以实现将某个数左边都比这个数小右边都比这个数大
def partition(data, left, right):
    tmp = data[left]
    while left < right:
        while left < right and data[right] >= tmp:     # 从右向左找小于tmp的数放到左边空位置
            right -= 1
        data[left] = data[right]                       # 将右边小于tmp值得数放到左边空位置
        while left < right and data[left] <= tmp:      # 从左向右找到大于tmp的值放到右边空位置
            left += 1
        data[right] = data[left]                       # 将右边大于tmp值得数放到右边空位置
    data[left] = tmp
    return left

data = list(range(100))
random.shuffle(data)                                 #将有序列表打乱
quick_sort(data, 0, len(data) - 1)
print(data)

#! /usr/bin/env python
# -*- coding: utf-8 -*-
def quick_sort(arr):
    '''''
    模拟栈操作实现非递归的快速排序
    '''
    if len(arr) < 2:
        return arr
    stack = []
    stack.append(len(arr)-1)
    stack.append(0)
    while stack:
        l = stack.pop()
        r = stack.pop()
        index = partition(arr, l, r)
        if l < index - 1:
            stack.append(index - 1)
            stack.append(l)
        if r > index + 1:
            stack.append(r)
            stack.append(index + 1)


def partition(arr, start, end):
    # 分区操作，返回基准线下标
    pivot = arr[start]
    while start < end:
        while start < end and arr[end] >= pivot:
            end -= 1
        arr[start] = arr[end]
        while start < end and arr[start] <= pivot:
            start += 1
        arr[end] = arr[start]
    # 此时start = end
    arr[start] = pivot
    return start

lst = [1,3,5,7,9,2,4,6,8,10]
quick_sort(lst)
print lst   # [1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10]

#! /usr/bin/env python
# -*- coding: utf-8 -*-
def quick(list):
    if len(list) < 2:
        return list

    tmp = list[0]  # 临时变量 可以取随机值
    left = [x for x in list[1:] if x <= tmp]  # 左列表
    right = [x for x in list[1:] if x > tmp]  # 右列表
    return quick(left) + [tmp] + quick(right)

li = [4,3,7,5,8,2]
print quick(li)  # [2, 3, 4, 5, 7, 8]

#### 对[4,3,7,5,8,2]排序
'''
[3, 2] + [4] + [7, 5, 8]                 # tmp = [4]
[2] + [3] + [4] + [7, 5, 8]              # tmp = [3] 此时对[3, 2]这个列表进行排序
[2] + [3] + [4] + [5] + [7] + [8]        # tmp = [7] 此时对[7, 5, 8]这个列表进行排序
'''

　　2、快排原理

              

# 从排序前--------> 到P归位 经历过程（前面都比5小后面都比5大）
# 1、    首先从右向左比较，取出列表第一个元素5（第一个位置就空出来）与列表最后一个元素8比较，8>5不换位置
# 2、    用5与-2位置的9比，5<9不换位置
# 3、    5与-3位置的2比较，2<5,将-3位置的5放到1号位置，那么-3号位置空出来了，然后从左往右比较
# 4、    5与2号位置的7比，5<7,将7放到-3号位置，2号位置空出来了，在从右往左比
# 5、    -4号位置的1小于5将1放到空出的2号位置，-4位置空出来了，再从右向左比
# 6、    这样第一次循环就实现了5放到列表中间，前面的都比5大，后面的都比5小

　　3、快排与冒泡时间复杂度对比

	最好情况	一般情况	最坏情况
快排	O(nlogn)	O(nlogn)	O(n^2)
冒泡	O(n)	O(n^2)	O(n^2)

　　4、快排最坏时间复杂度为何为O(n²)

　　　　　　1. 每次划分只能将序列分为一个元素与其他元素两部分，这时的快速排序退化为冒泡排序

　　　　　　2. 如果用数画出来，得到的将会是一棵单斜树，也就是说所有所有的节点只有左（右）节点的树；平均时间复杂度O(n*logn)

1.5 堆排序     返回顶部

　　1、堆的定义：http://www.cnblogs.com/MOBIN/p/5374217.html  

　　　　　　1、堆中某个节点的值总是不大于或不小于其父节点的值；

　　　　　　2、堆总是一棵完全二叉树

　　　　　　3、完全二叉树定义：

　　　　　　　　1）若设二叉树的深度为h，除第 h 层外，其它各层 (1～h-1) 的结点数都达到最大个数
　　　　　　　　2）第 h 层所有的结点都连续集中在最左边，这就是完全二叉树。

　　　　　　4、完全二叉树特性

　　　　　　　　1）一个高度为h的完全二叉树最多有  2ⁿ -1 个节点

　　　　　　　　2）根为 i 号节点，左孩子 为 2i、 右孩子为 2i+1，父亲节点 (i – 1) / 2

　　　　　　　　3）一个满二叉树 第 m层节点个数 等于 2^m-1 个

　　　　　　　　4）推倒一个h层的满二叉树为何 有 2^h -1 个节点

　　　　　　　　　　s = 2⁰ + 2¹ + 2²  +  2³ + ...... + 2^h-1

　　　　　　　　       s = 2¹ + 2¹ + 2² + 2³ ...... + 2^h-1 - 1

　　　　　　　　　　s = 2*2¹ + 2² + 2³ ...... + 2^h-1 - 1

　　　　　　　　　　s = 2² + 2² + 2³ ...... + 2^h-1 - 1

　　　　　　　　　　s = 2*2² + 2³ ...... + 2^h-1 - 1

　　　　　　　　　　s = 2^h -1

　　2、调长定义（节点的左右子树都是堆但自己不是堆）

　　　　1. 调长图解

                      

　　　　2. 调长原理

　　　　　　　　1、首先将2拿出来与9和7比，这里面9最大，就用9作为根
　　　　　　　　2、2放到9以前的位置，与8和5比，8最大放到开始9的位置
　　　　　　　　3、2放到起始8的位置与6和4比，6最大，就出现了右边那张图了

　　3、构造堆：从最后一个有孩子的父亲开始 

#! /usr/bin/env python
# -*- coding: utf-8 -*-
def sift(data, low, high):
   '''  构造堆  堆定义：堆中某节点的值总是不大于或不小于父节点的值
   :param data: 传入的待排序的列表
   :param low:  需要进行排序的那个小堆的根对应的号
   :param high: 需要进行排序那个小堆最大的那个号
   :return:
   '''
   i = low            #i最开始创建堆时是最后一个有孩子的父亲对应根的号
   j = 2 * i+ 1       #j子堆左孩子对应的号
   tmp = data[i]      #tmp是子堆中原本根的值（拿出最高领导）
   while j <= high:  #只要没到子堆的最后（每次向下找一层）  #孩子在堆里
      # if j < high and data[j] < data[j + 1]:
      if j + 1 <= high and data[j] < data[j + 1]: #如果有右孩纸，且比左孩子大
         j += 1
      if tmp < data[j]:        #如果孩子还比子堆原有根的值tmp大，就将孩子放到子堆的根
         data[i] = data[j]     #孩子成为子堆的根
         i = j                 #孩子成为新父亲（向下再找一层）
         j = 2 * i + 1         #新孩子  （此时如果j<=high证明还有孩，继续找）
      else:
         break                 #如果能干就跳出循环就会流出一个空位
   data[i] = tmp                #最高领导放到父亲位置

def heap_sort(data):
   '''调整堆'''
   n = len(data)
   # n//2-1 就是最后一个有孩子的父亲那个子堆根的位置
   for i in range(n // 2 - 1, -1, -1):  #开始位置，结束位置， 步长       这个for循环构建堆
      # for循环输出的是： （n // 2 - 1 ） ～ 0 之间的数
      sift(data, i , n-1)     # i是子堆的根，n-1是堆中最后一个元素


data = [20,50,20,60,70,10,80,30,40]
heap_sort(data)
print data  # [80, 70, 20, 60, 50, 10, 20, 30, 40]

　　　　　　1、在构造有序堆时，我们开始只需要扫描一半的元素（n/2-1 ~ 0）即可，为什么?
　　　　　　2、因为(n/2-1)~0的节点才有子节点，如图1，n=8,(n/2-1) = 3 即3 2 1 0这个四个节点才有子节点
　　　　　　3、所以代码4~6行for循环的作用就是将3 2 1 0这四个节点从下到上，从右到左的与它自己的子节点比较并调整最终形成大顶堆，过程如下：
　　　　　　4、第一次for循环将节点3和它的子节点7 8的元素进行比较，最大者作为父节点（即元素60作为父节点）

                           

　　　　　　5、第二次for循环将节点2和它的子节点5 6的元素进行比较，最大者为父节点（元素80作为父节点）

                          

　　　　　　6、第三次for循环将节点1和它的子节点3 4的元素进行比较，最大者为父节点（元素70作为父节点）

                          　　

　　　　　　7、第四次for循环将节点0和它的子节点1 2的元素进行比较，最大者为父节点（元素80作为父节点）

                        

 　　　　　　   注：元素20和元素80交换后,20所在的节点还有子节点，所以还要再和它的子节点5 6的元素进行比较，这就是28行代码 i = j 的原因

　　　　　　8、至此有序堆已经构造好了！如上面右图

                        

　　4、调整堆

　　　　1. 调整堆过程

　　　　　　　　1、建立堆
　　　　　　　　2、通过调长，得到堆顶元素，为最大元素
　　　　　　　　3、去掉堆顶，将最后一个元素放到堆顶，此时可通过一次调整重新使堆有序
　　　　　　　　4、堆顶元素为第二大元素
　　　　　　　　5、重复步骤3，直到堆变空

　　　　2. 调整堆具体步骤

　　　　　　1、 堆顶元素80和尾40交换后-->调整堆

                              　　　　

　　　　　　2、堆顶元素70和尾30交换后-->调整堆

                             　

　　　　　　3、堆顶元素60尾元素20交换后-->调整堆

                           

　　　　　　4、其他依次类推，最终已排好序的元素如下

                          

　　5、堆排序代码实现

 

# !/usr/bin/env python
# -*- coding:utf-8 -*-
import random

def sift(data, low, high):
    '''  构造堆  堆定义：堆中某节点的值总是不大于或不小于父节点的值
    :param data: 传入的待排序的列表
    :param low:  需要进行排序的那个小堆的根对应的号
    :param high: 需要进行排序那个小堆最大的那个号
    :return:
    '''
    root = low  # root最开始创建堆时是最后一个有孩子的父亲对应根的号
    child = 2 * root + 1  # child子堆左孩子对应的号
    tmp = data[root]  # tmp是子堆中原本根的值（拿出最高领导）
    while child <= high:  # 只要没到子堆的最后（每次向下找一层）  #孩子在堆里
        if child + 1 <= high and data[child] < data[child + 1]:  # 如果有右孩纸，且比左孩子大
            child += 1
        if tmp < data[child]:  # 如果孩子还比子堆原有根的值tmp大，就将孩子放到子堆的根
            data[root] = data[child]  # 孩子成为子堆的根
            root = child  # 孩子成为新父亲（向下再找一层）
            child = 2 * root + 1  # 新孩子  （此时如果child<=high证明还有孩，继续找）
        else:
            break  # 如果能干就跳出循环就会流出一个空位
    data[root] = tmp  # 最高领导放到父亲位置

def heap_sort(data):
    '''调整堆'''
    n = len(data)
    ''' n//2-1 就是最后一个有孩子的父亲那个子堆根的位置 '''
    for i in range(n // 2 - 1, -1, -1):  # 开始位置，结束位置， 步长       这个for循环构建堆
        # for循环输出的是： （n // 2 - 1 ） ～ 0 之间的数
        sift(data, i, n - 1)  # i是子堆的根，n-1是堆中最后一个元素
    # 堆建好了，后下面就是挨个出数
    for i in range(n - 1, -1, -1):  # i指向堆的最后        这个for循环出数然后，调长调整堆
        # for循环输出的是 ： n-1 ～ 0之间所有的数，n-1就是这个堆最后那个数的位置
        data[0], data[i] = data[i], data[0]  # 将堆的第一个和最后一个值调换位置(将最大数放到最后)
        sift(data, 0, i - 1)  # 将出数后的部分重新构建堆(调长)


data = list(range(100))
random.shuffle(data)  # 将有序列表打乱
heap_sort(data)
print(data)

 

　　6、初始化建堆过程时间：O(n) 公式推倒

　　　　参考博客：https://www.cnblogs.com/GHzz/p/9635161.html

　　　　说明：建堆时间复杂度指初始化堆需要调整父节点和子节点顺序次数

''' 假设高度为：k '''
#### 1、推倒第i层的总时间：s = 2^( i - 1 )  *  ( k - i )
# 说明：如果在最差的条件下，就是比较次数后还要交换；因为这个是常数，所以提出来后可以忽略；
'''
1. 2^( i - 1)：表示该层上有多少个元素
2. ( k - i)：表示子树上要下调比较的次数：第一层节点需要调整(h-1)次，最下层非叶子节点需要调整1次。
3. 推倒
    倒数第1层下调次数：s = 2^( i - 1 )  *  0 
    倒数第2层下调次数：s = 2^( i - 1 )  *  1
    倒数第3层下调次数：s = 2^( i - 1 )  *  2
    倒数第i层下调次数：s = 2^( i - 1 )  *  ( k - i )
'''

#### 2、一次新建堆总时间：S = n - longn -1  # 根据1中公式带人推倒
# S = 2^(k-2) * 1 + 2^(k-3)*2.....+2*(k-2)+2^(0)*(k-1)  ===> 因为叶子层不用交换，所以i从 k-1 开始到 1；
'''
S = 2^(k-2) * 1 + 2^(k-3)*2.....+2*(k-2)+2^(0)*(k-1)     # 等式左右乘上2，然后和原来的等式相减，就变成了：
S = 2^(k - 1) + 2^(k - 2) + 2^(k - 3) ..... + 2 - (k-1)
S = 2^k -k -1                                            # 又因为k为完全二叉树的深度，所以 
(2^(k-1)) <=  n < (2^k - 1 )                             # 两边同时对2取对数，简单可得
k = logn                                                 # 实际计算得到应该是 log(n+1) < k <= logn 

综上所述得到：S = n - longn -1，所以时间复杂度为：O(n)
'''

　　7、堆排序时间：O(nlogn) 公式推倒

　　　　1）推导方法1：

　　　　　　循环  n -1 次，每次都是从根节点往下循环查找，所以每一次时间是 logn，总时间：logn(n-1) = nlogn  - logn ；

　　　　2）推导方法2：

　　　　　　1. 在一个堆中一次调长（调整堆）时间复杂度： log(n)

　　　　　　2. 排序时一次出栈顶元素需要循环 n次，每次时间复杂度为：log(n)

　　　　　　3. 所以总时间复杂度：nlog(n)

1.6 归并排序（递归调用）      返回顶部

　　1、归并原理图

                 

　　2、归并排序代码（时间复杂度：O(nlogn)）

#! /usr/bin/env python
# -*- coding: utf-8 -*-
def merge(li, low, mid, high):
   '''
   :param li:      带排序列表
   :param low:     列表中第一个元素下标，一般是：0
   :param mid:     列表中间位置下标
   :param high:    列表最后位置下标
   :return:
   '''
   i = low
   j = mid + 1
   ltmp = []
   while i <= mid and j <= high:
      if li[i] < li[j]:
         ltmp.append(li[i])
         i += 1
      else:
         ltmp.append(li[j])
         j += 1
   while i <= mid:
      ltmp.append(li[i])
      i += 1
   while j <= high:
      ltmp.append(li[j])
      j += 1
   li[low:high+1] = ltmp

def mergesort(li, low, high):
   if low < high:
      mid = (low + high) // 2          #获取列表中间的索引下标
      mergesort(li, low, mid)          #先分解
      mergesort(li, mid+1, high)
      merge(li, low, mid, high)        #然后合并

data = [10,4,6,3,8,2,5,7]
mergesort(data, 0 , len(data) -1)
print(data)                            # [2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18]

1.7 快速排序，堆排序， 归并排序 比较     返回顶部

　　1、三种排序算法时间复杂度都是（ O(nlogn) ）

　　2、 一般情况下，就运行时间而言：

　　　　　　快速排序 < 归并排序 < 堆排序

　　3、三种排序算法的缺点

　　　　　　1、快速排序： 极端情况下排序效率低( O(n2) )
　　　　　　2、归并排序： 需要额外内存开销（需要新建一个列表放排序的元素）
　　　　　　3、堆排序： 在快的排序算法中相对较慢，堆排序最稳定

1.8 时间复杂度、空间复杂度和稳定性     返回顶部

　　1、各种算法比较

　　　　　

　　2、算法不稳定定义 

　　　　　　定义：在排序之前,有两个数相等，但是在排序结束之后,它们两个有可能改变顺序.

　　　　　　说明：在一个待排序队列中,A和B相等,且A排在B的前面,而排序之后,A排在了B的后面.这个时候,我们说这种算法是不稳定的.

　　3、不稳定的几种算法

　　　　1）快排为什么不稳定

　　　　　　　　3 2 2 4 经过第一次快排后结果：2 2 3 4 （第3号位置的2第一次排序后跑到第1号位置了）

　　　　2）堆排序为什么不稳定　　

　　　　　　　　如果堆顶3先输出，则，第三层的27（最后一个27）跑到堆顶，然后堆稳定，继续输出堆顶，是刚才那个27

　　　　　　　　这样说明后面的27先于第二个位置的27输出，不稳定

　　　　　　　　

　　　　3）选择排序为什么不稳定

　　　　　　　　5 8 5 2 9 第一次假定1号位置的5最小，但是实际最小的是4号位置的2

　　　　　　　　第一次排序后为：2 8 5 5 9 以前1号位置的5跑到3号位置5的后面了