[算法]位运算问题之三（实现加减乘除）

题目：

给定32位整数a和b，可正、可负、可0，不能使用算术运算符，可分别实现a和b的加减乘除运算。

 

加法运算：

无进位相加：

a:	001010101
b:	000101111
a^b	001111010

只考虑进位：

a	001010101
b	000101111
(a&b)<<1	000001010

把完全不考虑进位的相加值与只与考虑进位的产生值再相加，就是最后的结果。重复这样的过程，直到进位产生的值完全消失，说明所有的过程都加完了。

public static int add(int a, int b) {
        int sum = a;
        while (b != 0) {
            sum = a ^ b;
            b = (a & b) << 1;
            a = sum;
        }
        return sum;
    }

减法运算：

实现a-b其实就是a+(-b)，根据二进制在机器中表达的规则，得到一个数的相反数，就是这个数的二进制表达取反加1（补码）的结果。

public static int negNum(int n) {
        return add(~n, 1);
    }

    public static int minus(int a, int b) {
        return add(a, negNum(b));
    }

乘法运算：

res=a*2⁰*b₀+a*2¹*b₁+…+a*2ⁱ*b_i+…+a*2³¹*b31,bi为0或1代表整数b的二进制数表达式中第i位的值。

public static int multi(int a, int b) {
        int res = 0;
        while (b != 0) {
            if ((b & 1) != 0) {
                res = add(res, a);
            }
            a <<= 1;
            b >>>= 1;
        }
        return res;
    }

除法运算：

b=res*a   ==>   a=b*2⁰*res₀+b*2¹*res₁+…+b*2ⁱ*res_i+…+b*2³¹*res₃₁

//判断是否为负
    public static boolean isNeg(int n) {
        return n < 0;
    }
    //相除的核心算法
    public static int div(int a, int b) {
        int x = isNeg(a) ? negNum(a) : a;
        int y = isNeg(b) ? negNum(b) : b;
        int res = 0;
        for (int i = 31; i > -1; i = minus(i, 1)) {
            if ((x >> i) >= y) {
                res |= (1 << i);
                x = minus(x, y << i);
            }
        }
        return isNeg(a) ^ isNeg(b) ? negNum(res) : res;
    }
    //加上特殊情况
    public static int divide(int a, int b) {
        //分母为零
        if (b == 0) {
            throw new RuntimeException("divisor is 0");
        }
        //分子分母均为最小值
        if (a == Integer.MIN_VALUE && b == Integer.MIN_VALUE) {
            return 1;
        //分母为最小值，而分子不为最小值，返回0
        } else if (b == Integer.MIN_VALUE) {
            return 0;
        //分子为最小值，分母不为最小值
        } else if (a == Integer.MIN_VALUE) {
            int res = div(add(a, 1), b);
            return add(res, div(minus(a, multi(res, b)), b));
        } else {
            return div(a, b);
        }
    }