《算法导论》第14章 数据结构的扩张 (2)

在上一节中，我们为树结点添加size域表示每颗子树的大小，即包含的结点个数，扩张了

二叉查找树为其增加顺序统计量的查找功能。更为自然的想法是直接添加顺序统计量rank域

到每个树结点上。这一节我们就来看下在这样的设计下，如何扩张来完成上一节相同的功能。

当我们插入一个结点到二叉树中，假设它的顺序统计量为5，那么之前二叉树中顺序统计量

大于5的结点都要更新。也就是说插入一个新结点到对应的位置后，要不断地查找其后继，

完成rank域的更新。所以可以结合习题14.2-1，再添加两个指针域prev和next指向前趋和后继，

使查找前趋和后继在O(1)内完成。

下面来看具体代码。

// 添加三个新域
typedef struct _BSTNode {
     struct _BSTNode *left, *right, *parent;
     int key;
     char *value;
     struct _BSTNode *prev, *next;
     int rank;
} BSTNode;

// 对于prev和next指针的维护，插入结点分两种情况：
// 1.新插入结点newNode是其父结点P的左子结点，说明P->prev < newNode < P
// 2.新插入结点newNode是其父结点P的右子结点，说明P < newNode < P->next
//
// 对于rank域，如果newNode没有前趋，那么rank置为1，否则置为newNode前趋的rank值加1
// 之后开始迭代更新，将newNode的所有后继的rank值都加1。
void bst_insert(BSTNode **root, BSTNode *newNode)
{
     // Locate insert location
     BSTNode *pNode = NULL;
     BSTNode *node = *root;
     while (node != NULL) {
          pNode = node;
          if (newNode->key < node->key)
               node = node->left;
          else
               node = node->right;
     }
     
     // Link newNode to pNode
     newNode->parent = pNode;

     // Link pNode to newNode
     // 新逻辑：维护prev, next
     if (pNode == NULL) {
          *root = newNode;
     } else if (newNode->key < pNode->key) {
          pNode->left = newNode;

          // newNode is between pNode->prev and pNode
          if (pNode->prev != NULL)
               pNode->prev->next = newNode;
          newNode->prev = pNode->prev;
          pNode->prev = newNode;          
          newNode->next = pNode;
     } 
     else {
          pNode->right = newNode;          

          // newNode is between pNode and pNode->next          
          if (pNode->next != NULL)
               pNode->next->prev = newNode;
          newNode->next = pNode->next;
          newNode->prev = pNode;
          pNode->next = newNode;
     }

     // 新逻辑：维护rank域
     if (newNode->prev == NULL)
          newNode->rank = 1;
     else
          newNode->rank = newNode->prev->rank + 1;
     
     BSTNode *succesor = newNode;
     while ((succesor = succesor->next) != NULL) {
          succesor->rank += 1;
     }
}

// Select和Rank操作变得格外简单
BSTNode *bst_os_select(BSTNode *node, int i)
{
     while (node != NULL) {
          if (node->rank == i)
               return node;
          else if (node->rank > i)
               node = node->left;
          else
               node = node->right;
     }
     return NULL;
}

int bst_os_rank(BSTNode *node)
{
     return node->rank;
}

通过这一节和上一节的对比，可以看出在步骤（2）中对基础数据结构添加不同的域，会对

步骤（3）和（4）改写和添加新的操作产生很大影响。因此，在扩张数据结构时可以采用

试错法，尝试添加不同的域，权衡各种方案的优劣。