数据库系统概述----最小函数依赖集求解过程

最小函数依赖集的求解

 一、定义

　　最小函数依赖集也称为极小函数依赖集、最小覆盖；如果函数依赖集 F 满足下列条件，则称 F 为一个最小依赖集。

1. F 中任意函数依赖的右部仅含有一个属性
2. F 中不存在这样的函数依赖X→A,使得 F 与 F - {X→A}等价，即 F 中的函数依赖均不能由 F 中其他函数依赖导出
3. F 中不存在这样的函数依赖X→A，X有真子集 Z 使得 F - {X→A} ∪ {Z→A}与 F 等价，即 F 中各函数依赖左部均为最小属性集（不存在冗余属性）

 二、算法步骤：

• 将 F 中的所有函数依赖的右边化为单一属性
• 去掉 F 中的所有函数依赖左边的冗余属性（只针对F中左部不是单一属性的函数依赖）
• 去掉 F 中的所有冗余的函数依赖

三、例子说明

假设R<U , F> ，U = ABCD，函数依赖集F={A→BD，AB→C，C→D}，求：F 最小函数依赖集

第一步：将F中的所有函数依赖的右边化为单一属性：

　　因为F = {A→BD，AB→C，C→D}，函数依赖右边化为单一属性得：F = {A→B，A→D，AB→C，C→D}；

第二步：去掉F中的所有函数依赖左边的冗余属性（只针对F中左部不是单一属性的函数依赖）

　　　F={A→B，A→D，AB→C，C→D}中只有函数依赖AB→C左部不是单一属性，所以要对其进行去掉左边冗余属性的处理：

1. 先看A是不是冗余属性：因为B_F⁺ ={ B }不包含A，所以A属性不冗余         //这里应该注意的是，要看哪一个属性是否是冗余属性，则求该函数依赖左部除要查看的属性外的其他属性的集关于 F 的闭包是否包含要查看属性
2. 再看B是不是冗余属性：因为A_F⁺ ={A，B，C，D} 包含的B，所以B属性冗余

 　　因此只将函数依赖AB→C左部B属性去掉，所以F={A→B，A→D，A→C，C→D}。

第三步：去掉 F 中的所有冗余的函数依赖

依据引理：设F为属性集U上的一组函数依赖，X，Y ⊆ U，X→Y 能由 F 根据Armstrong公理导出的充分必要条件是Y⊆ X_F⁺ 。即判断 F 中一个函数依赖X→Y是否冗余，则只需要判定 Y 是否为的X_F⁺ 子集。

 因为有F={A→B，A→D，A→C，C→D}：

1. 先看判断函数依赖A→D是否冗余，则把函数依赖A→D从F={A→B，A→D，A→C，C→D}中去掉后得F={A→B，A→C，C→D}，求得A_F⁺ = { A，B，C，D} 包含了D，所以为函数依赖A→D冗余，所以应该从F={A→B，A→D，A→C，C→D}中去掉函数依赖A→D，得F={A→B，A→C，C→D}
2. 再从F={A→B，A→C，C→D}依次判断每一个函数依赖是否冗余，直至所有冗余的函数依赖都被消除。本例子中经过第1步后已消除 F 中的所有冗余函数依赖了，因此原F={A→BD，AB→C，C→D}的最小函数依赖集为 F ={A→B，A→C，C→D}。

 注意点：

1. F的最小依赖集F _m 不一定是唯一的，它与对个函数依赖FD_i 及X→A中个属性的处置的顺序有关。在本例子中在去掉F中的冗余的函数依赖时（绿色字体那一步）若不是首先判断A→D是否冗余，而是首先判断其它函数依赖是否冗余，那么所得的最小函数依赖就可能不同了
2. 要搞清楚在判断一个函数依赖X→A是否为冗余时，是求X关于上一步所求得的新的函数依赖集 F 的闭包X_F⁺ ，然后在判断A是否包含在该X_F⁺