[学习笔记] Splay & Treap 平衡树 - 数据结构
[学习笔记] Splay & Treap 平衡树 - 数据结构
Splay 树
又名伸展树，一种平衡二叉查找树，通过 \(\text{Splay}\) 操作不断把节点旋到根节点来维护整颗树的平衡。
说人话，很玄学的玩意，复杂度是单 log 级别的。为啥是单 log，科学的解释请移步 OI-WIKI。不科学的解释就是，通过不断 \(\text{Splay}\)，以至于整棵树不会变成一条链，再加上二叉搜索树的看家本领，有点类似于二分查找，于是复杂度就变成 \(\mathcal{O}(n\log n)\) 了。
结构体定义
因为 Splay树 本质就是棵二叉查找树，所以维护的东西和二叉树一样。
struct{
int fa, ch[2], siz, cnt, val, tag;
};
int tot, rt;
fa: 表示当前节点的父亲节点编号。ch[2]: 表示当前节点的左右儿子编号。特殊地，左儿子的权值一定小于当前节点的权值，右儿子的权值一定大于当前节点的权值。siz: 表示当前节点的子树大小。用于找第 \(k\) 最值。cnt: 表示有多少和当前节点权值一样的节点。就是把权值一样的点并到一起。val: 当前节点的权值。tot: 记录点的编号。类似于动态开点，rt: Splay树的根节点标号。tag: 如果涉及区间修改，那么还要维护懒标记。
基本操作
inline bool get(int x){
return x == t[t[x].fa].ch[1];
}
用于找到该节点是父节点的哪一个儿子
inline void update(int x){
t[x].siz = t[t[x].ch[0]].siz + t[t[x].ch[1]].siz + t[x].cnt;
}
更新（统计）子树大小。类比于线段树的 upshup 操作，也可以维护区间和之类的东西。
Splay 操作
单次 splay 的本质就是，把某个节点与它父亲的关系调换一下。因为这是个二叉查找树，所以这种操作很方便：看图：
假设 \(fa\) 的权值比 \(u\) 大，那么旋转过来之后 \(fa\) 就要变成 \(u\) 的右儿子。总的来说，就是父子关系调换，左右儿子关系调换。这是最基本的操作。
如果加上祖先节点，那么情况会有所不同：
通俗来讲，就是当父亲和祖先节点不共线的时候，先旋转 \(x\)，再旋转 \(y\)。当父亲和祖先结点共线的时候，先旋转 \(y\)，再旋转 \(x\)。有个口诀：折转底，直转中。
为什么要这么操作呢？如果不这么做会大幅增加你的时间复杂度，就是会 TLE。因为这么做可以最大限度度地保证树的平衡。
定义 splay(x, king) 表示把 \(x\) 节点旋转到 \(king\) 的儿子节点。特殊地，当 \(king=0\) 的时候，相当于把 \(x\) 旋转为根。
inline void splay(int x, int king){ //x 要旋转的节点 king 目标节点
while(t[x].fa != king){
int y = t[x].fa, z = t[y].fa;
// 判断2 3情况
if(z != king) (get(x) ^ getr(y)) ? rotate(x) : rotate(y);
// 无论哪一种情况，都要旋 x
rotate(x);
}
// 如果king == 0 那么就代表把 x 旋为根节点
if(king == 0) rt = x;
}
rotate 操作
rotate(x) 表示将 \(x\) 向上旋转一次。对于初学者来说，这个是最不好写的操作了。如果你忘了，不妨拿张演草纸手玩一下，按照下面的图，从上到下依次修改即可保证正确。注意一些节点的父子关系会发生变化。
inline void rotate(int x){
int y = t[x].fa, z = t[y].fa;
bool k = get(x);
t[z].ch[get(y)] = x;
t[x].fa = z;
t[t[x].ch[k ^ 1]].fa = y;
t[y].ch[k] = t[x].ch[k ^ 1];
t[x].ch[k ^ 1] = y;
t[y].fa = x;
update(y), update(x); //先更新儿子
}
插入操作
先按照二叉搜索树的方式去找这个节点，如果找不到，那么新开节点，如果这个节点本身就存在，那么 \(cnt+1\) 即可。最后都要把这个节点旋到根。
inline void insert(int x){
int u = rt, fa = 0;
while(u && x != t[u].val)
fa = u, u = t[u].ch[x > t[u].val];
if(u) ++t[u].cnt;
else{
u = ++cnt;
if(fa) t[fa].ch[x > t[fa].val] = u;
t[u].val = x, t[u].fa = fa, t[u].siz = t[y].cnt = 1;
} splay(u, 0);
}
find 操作
找到权值 \(x\) 在树里对应的编号，并将它旋转到根。如果不存在，那么旋转与它权值最为相近的节点。
inline void find(x){
int u = rt;
while(t[u].ch[x > t[u].val] && x != t[u].val)
u = t[u].ch[u > t[u].val];
splay(u, 0);
}
删除操作
找到权值在
