[学习笔记] Splay & Treap 平衡树 - 数据结构

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14.[学习笔记] Splay & Treap 平衡树 - 数据结构2024-08-29

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[学习笔记] Splay & Treap 平衡树 - 数据结构

Splay 树

又名伸展树，一种平衡二叉查找树，通过 $\text{Splay}$ 操作不断把节点旋到根节点来维护整颗树的平衡。

说人话，很玄学的玩意，复杂度是单 log 级别的。为啥是单 log，科学的解释请移步 OI-WIKI。不科学的解释就是，通过不断 $\text{Splay}$，以至于整棵树不会变成一条链，再加上二叉搜索树的看家本领，有点类似于二分查找，于是复杂度就变成 $\mathcal{O}(n\log n)$​ 了。

结构体定义

因为 Splay树 本质就是棵二叉查找树，所以维护的东西和二叉树一样。

struct{
	int fa, ch[2], siz, cnt, val, tag;
};
int tot, rt;

• fa: 表示当前节点的父亲节点编号。
• ch[2]: 表示当前节点的左右儿子编号。特殊地，左儿子的权值一定小于当前节点的权值，右儿子的权值一定大于当前节点的权值。
• siz: 表示当前节点的子树大小。用于找第 $k$ 最值。
• cnt: 表示有多少和当前节点权值一样的节点。就是把权值一样的点并到一起。
• val: 当前节点的权值。
• tot: 记录点的编号。类似于动态开点，
• rt: Splay树的根节点标号。
• tag: 如果涉及区间修改，那么还要维护懒标记。

基本操作

inline bool get(int x){
    return x == t[t[x].fa].ch[1];
}

用于找到该节点是父节点的哪一个儿子

inline void update(int x){
    t[x].siz = t[t[x].ch[0]].siz + t[t[x].ch[1]].siz + t[x].cnt;
}

更新（统计）子树大小。类比于线段树的 upshup 操作，也可以维护区间和之类的东西。

Splay 操作

单次 splay 的本质就是，把某个节点与它父亲的关系调换一下。因为这是个二叉查找树，所以这种操作很方便：看图：

假设 $fa$ 的权值比 $u$ 大，那么旋转过来之后 $fa$ 就要变成 $u$ 的右儿子。总的来说，就是父子关系调换，左右儿子关系调换。这是最基本的操作。

如果加上祖先节点，那么情况会有所不同：

通俗来讲，就是当父亲和祖先节点不共线的时候，先旋转 $x$，再旋转 $y$。当父亲和祖先结点共线的时候，先旋转 $y$，再旋转 $x$​。有个口诀：折转底，直转中。

为什么要这么操作呢？如果不这么做会大幅增加你的时间复杂度，就是会 TLE。因为这么做可以最大限度度地保证树的平衡。

定义 splay(x, king) 表示把 $x$ 节点旋转到 $king$ 的儿子节点。特殊地，当 $king=0$ 的时候，相当于把 $x$ 旋转为根。

inline void splay(int x, int king){ //x 要旋转的节点 king 目标节点
    while(t[x].fa != king){
        int y = t[x].fa, z = t[y].fa;
        // 判断2 3情况
        if(z != king) (get(x) ^ getr(y)) ? rotate(x) : rotate(y);
        // 无论哪一种情况，都要旋 x
        rotate(x);
	}
    // 如果king == 0 那么就代表把 x 旋为根节点
    if(king == 0) rt = x;
}

rotate 操作

rotate(x) 表示将 $x$ 向上旋转一次。对于初学者来说，这个是最不好写的操作了。如果你忘了，不妨拿张演草纸手玩一下，按照下面的图，从上到下依次修改即可保证正确。注意一些节点的父子关系会发生变化。

inline void rotate(int x){
	int y = t[x].fa, z = t[y].fa;
    bool k = get(x);
    t[z].ch[get(y)] = x;
    t[x].fa = z;
    t[t[x].ch[k ^ 1]].fa = y;
    t[y].ch[k] = t[x].ch[k ^ 1];
	t[x].ch[k ^ 1] = y;
    t[y].fa = x;
    update(y), update(x); //先更新儿子
}

插入操作

先按照二叉搜索树的方式去找这个节点，如果找不到，那么新开节点，如果这个节点本身就存在，那么 $cnt+1$ 即可。最后都要把这个节点旋到根。

inline void insert(int x){
	int u = rt, fa = 0;
    while(u && x != t[u].val)
        fa = u, u = t[u].ch[x > t[u].val];
    if(u) ++t[u].cnt;
    else{
		u = ++cnt;
        if(fa) t[fa].ch[x > t[fa].val] = u;
        t[u].val = x, t[u].fa = fa, t[u].siz = t[y].cnt = 1;
    } splay(u, 0);
}

find 操作

找到权值 $x$ 在树里对应的编号，并将它旋转到根。如果不存在，那么旋转与它权值最为相近的节点。

inline void find(x){
	int u = rt;
    while(t[u].ch[x > t[u].val] && x != t[u].val)
        u = t[u].ch[u > t[u].val];
    splay(u, 0);
}

删除操作

找到权值在