[学习笔记] 阶 & 原根 - 数论

较为冷门(?)的数论知识，但在解决一些特殊问题上有着重要的作用。

整数的阶

根据欧拉定理有正整数 $n$ 和一个与 $n$ 互素的整数 $a$，那么有 $a^{\phi(n)} \equiv 1 \pmod{n}$。因此至少存在一个整数满足这个方程。并且由良序原理可得一定存在一个最小正整数满足这个方程。、

定义：设 $a$ 和 $n$ 是互素的整数，$a\not = 0$，$n > 0$，使得 $a^x\equiv 1 \pmod n$ 的最小正整数称之为 **$a$ 模 $n$ 的阶 **，记作 $\mathrm{ord}_na$。

定理1

如果 $a$ 和 $n$ 为互素的整数，且 $a\not = 0$、$n>0$，那么正整数 $x$ 是同余方程 $a^x\equiv 1 \pmod n$ 的一个解当且仅当 $\mathrm{ord}_na \mid x$。

证明：

假设 $a^x\equiv 1 \pmod n$，并将 $x$ 表示为：

$$x=k\times \mathrm{ord}_na + r\ \ \ (0\le r< \mathrm{ord}_na)$$

得：

$$a^x=a^{k\times \mathrm{ord}_na + r}=(a^{k\times \mathrm{ord}_na})^r\equiv a^r\pmod n$$

因为 $a^x\equiv 1 \pmod n$，所以 $a^r\equiv 1 \pmod n$，又因为 $\mathrm{ord}_na$ 为使得该同余方程右边为 $1$ 的最小正整数，所以 $r=0$，所以有 $x=k\times \mathrm{ord}_na$，固有 $\mathrm{ord}_na \mid x$。

推论1.1

如果 $a$ 和 $n$ 为互素的整数，且 $n>0$，那么 $\mathrm{ord}_na \mid \phi(n)$。

根据定理1不难得证。

定理2

如果 $a$ 和 $n$ 为互素的整数，且 $n>0$，那么 $a^i\equiv a^j \pmod n$ 当且仅当 $i \equiv j \pmod {\mathrm{ord}_na}$。$i$ 和 $j$ 均为非负整数。

证明：

假设 $a^i\equiv a^j \pmod n$ 且 $j\le i$。因为 $a \equiv 1 \pmod {n}$，所以 $a^j \equiv 1 \pmod n$。那么可列出下面狮子：

$$a^i \equiv a^j \equiv a^ja^{i-j} \pmod n$$

约掉 $a^j$ 则有：

$$a^{i-j} \equiv 1 \pmod n$$

由定理1可得 $\mathrm{ord}_na \mid i-j$，换个形式：$i \equiv j \pmod {\mathrm{ord}_na}$。得证。

这条性质非常重要，换个说法就是当 $a$ 的指数小于 $\mathrm{ord}_na$ 的时候所有模后的数都是不相等的。接下来说明原根的性质时还会提到类似的这一点。这可以把某些程序的复杂度 $\mathcal{O}(n)$ 压缩到 $\mathcal{O}(\mathrm{ord}_na)$。是一个很大的优化。

原根

定义：如果 $r$ 和 $n$ 是互素的整数且 $n>0$，那么当 $\mathrm{ord}_nr=\phi(n)$ 时，称 $r$ 是 $n$ 的原根。

某个整数的阶是一定存在的，但原根可不是什么整数都有的。考虑哪些正整数有原根。一个整数存在原根当且仅当他为 $2,4,p^k,2p^k$，其中 $p$ 为奇素数，$k$ 为正整数。

定理3

如果正整数$r$ 和 $n$ 互素，并且 $n>0$， 如果 $r$ 是 $n$ 的一个原根，那么下列整数

$$r^1,r^2,\dots,r^{\phi(n)}$$

构成了模 $n$ 的既约剩余系。

没写完呢~

不太好理解。破译过来就是，这些整数模 $n$ 的值在指数为 $1$ 到 $\phi(n)$ 的时候是互不相等的，并且这些整数模 $n$ 的值只有这些，也就是取尽了整个值域。并且他们每 $\phi(n)$ 个一循环。