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XiaoLe_MC

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[学习笔记] 丢番图方程 & 同余 & 逆元 - 数论

首先,他们几个有着极大的相似性。另外,他们的各自的思想都能够很好的服务于另外几个,有助于加深理解。

文中有些letax公式抽风了,全屏之后应该能看得见……

线性丢番图方程

丢番图不是个图啊!他是个man……

现在主要说的是二元线性丢番图方程:通用形式为 ax+by=c。其中常数全都为整数。很像不定方程对吧?现在在整数范围内讨论他的解。

定理

对于方程 ax+by=c,其中 abc 均为整数。令 d=gcd(a,b),该方程有解(有无限解)的充要条件是 dc,该方程无解的充要条件是 dc。另外,若 x0y0,为方程的一个特解,那么所有解可以表示为:

x=x0+(bd)ny=y0(ad)n

证明

1、令 a=ed b=fd,于是有 c=ax+by=edx+fdy=d(ex+fy),证毕。

2、规定方恒的一组特解 ax0+by0=c,且有方程的解 ax+by=c

作差得:

axax0+byby0=0a(xx0)=b(y0y)

两边同除 d 得:

(a/d)(xx0)=(b/d)(y0y)

因为 (a/d)(b/d) 互质,且 (xx0)(y0y) 均为整数,所以一定存在一个整数 n 使得 n(a/d)=y0y,可得 y=y0n(a/d),同理 x=x0+n(b/d)。对于这个结果可以带回原方程中并尝试化简即可验证其正确性。

扩展欧几里得算法

求解上述方程的关键是找到一个特解。因为该特解和求 GCD 有关,所以求特解也用到了欧几里得求 GCD 的思路,成为扩展欧几里得算法。下面阐述具体步骤:

  1. 对于方程 ax+by=c ,先用扩欧求 ax+by=gcd(a,b) 的解,代码如下。
inline ll extend_gcd(ll a, ll b, ll &x, ll &y){
if(!b) {x = 1, y = 0; return a;}
ll d = extend_gcd(b, a%b, y, x);
y -= a/b * x;
return d;
}

首先,根据欧几里得算法的性质,总有一刻使得 a2x2+0y2=a2 ,并且此时剩下的 a2 即为 gcd(a,b)。于是可求得 x2=1,y2=0。再退一个狮子看:根据欧几里得算法的过程得:

b1x2+(a1%b1)y2=a2b1x2+[a1b1a1b1]y2=a2b1x2+a1y2b1a1b1y2=a2b1(x2a1b1y2)+a1y2=a2

b1y1+a1x1=a2,所以上下对应可以得到递推式 y1=x2a1b1y2x1=y2,于是便有了如上代码。

  1. 但有了上面的操作还不够,因为咱只求了 c=d=gcd(a,b) 时的特解,不过也很简单了,只需要在狮子左右同乘 c/d 即可。

  2. 题目通常会求最小正整数解,所以得出的解还要进行一步操作: (x%(b/d)+b/d)%(b/d)

同余

假如现在有个狮子 a mod M=b,其中涉及到的所有数都为整数。那么他就可以写作 ab (modM)。嗯,就这么简单。

逆元

在普通的等号连接的狮子里,我们可以通过移项时变号来保证左右相等,对于同余式也存在这么一种“变号”方式保证同余成立。

如果狮子 ax1(modb) 成立,那么我们称 xamodb 的逆元,记作 a1

本文作者:XiaoLe_MC

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