[学习笔记] 丢番图方程 & 同余 & 逆元 - 数论
首先,他们几个有着极大的相似性。另外,他们的各自的思想都能够很好的服务于另外几个,有助于加深理解。
文中有些letax公式抽风了,全屏之后应该能看得见……
线性丢番图方程
丢番图不是个图啊!他是个man……
现在主要说的是二元线性丢番图方程:通用形式为 。其中常数全都为整数。很像不定方程对吧?现在在整数范围内讨论他的解。
定理
对于方程 ,其中 、、 均为整数。令 ,该方程有解(有无限解)的充要条件是 ,该方程无解的充要条件是 。另外,若 ,,为方程的一个特解,那么所有解可以表示为:
证明
1、令 ,于是有 ,证毕。
2、规定方恒的一组特解 ,且有方程的解 。
作差得:
两边同除 得:
因为 与 互质,且 和 均为整数,所以一定存在一个整数 使得 ,可得 ,同理 。对于这个结果可以带回原方程中并尝试化简即可验证其正确性。
扩展欧几里得算法
求解上述方程的关键是找到一个特解。因为该特解和求 有关,所以求特解也用到了欧几里得求 的思路,成为扩展欧几里得算法。下面阐述具体步骤:
- 对于方程 ,先用扩欧求 的解,代码如下。
inline ll extend_gcd(ll a, ll b, ll &x, ll &y){ if(!b) {x = 1, y = 0; return a;} ll d = extend_gcd(b, a%b, y, x); y -= a/b * x; return d; }
首先,根据欧几里得算法的性质,总有一刻使得 ,并且此时剩下的 即为 。于是可求得 。再退一个狮子看:根据欧几里得算法的过程得:
又 ,所以上下对应可以得到递推式 ,于是便有了如上代码。
-
但有了上面的操作还不够,因为咱只求了 时的特解,不过也很简单了,只需要在狮子左右同乘 即可。
-
题目通常会求最小正整数解,所以得出的解还要进行一步操作:
同余
假如现在有个狮子 ,其中涉及到的所有数都为整数。那么他就可以写作 。嗯,就这么简单。
逆元
在普通的等号连接的狮子里,我们可以通过移项时变号来保证左右相等,对于同余式也存在这么一种“变号”方式保证同余成立。
如果狮子 成立,那么我们称 是 的逆元,记作
本文作者:XiaoLe_MC
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