[学习笔记] 丢番图方程 & 同余 & 逆元 - 数论

首先，他们几个有着极大的相似性。另外，他们的各自的思想都能够很好的服务于另外几个，有助于加深理解。

文中有些letax公式抽风了，全屏之后应该能看得见……

线性丢番图方程

丢番图不是个图啊！他是个man……

现在主要说的是二元线性丢番图方程：通用形式为 \(ax+by=c\)。其中常数全都为整数。很像不定方程对吧？现在在整数范围内讨论他的解。

定理

对于方程 \(ax+by=c\)，其中 \(a\)、\(b\)、\(c\) 均为整数。令 \(d=gcd(a,b)\)，该方程有解(有无限解)的充要条件是 \(d\mid c\)，该方程无解的充要条件是 \(d\nmid c\)。另外，若 \(x_0\)，\(y_0\)，为方程的一个特解，那么所有解可以表示为：

\[\begin{split} x=x_0+(b\mid d)n\\y=y_0-(a\mid d)n \end{split} \]

证明

1、令 \(a=ed\) \(b=fd\)，于是有 \(c=ax+by=edx+fdy=d(ex+fy)\)，证毕。

2、规定方恒的一组特解 \(ax_0+by_0=c\)，且有方程的解 \(ax+by=c\)。

作差得：

\[\begin{split} ax-ax_0+by-by_0=0\\ a(x-x_0)=b(y_0-y) \end{split} \]

两边同除 \(d\) 得：

\[\begin{split} (a/d)(x-x_0)=(b/d)(y_0-y)\\ \end{split} \]

因为 \((a/d)\) 与 \((b/d)\) 互质，且 \((x-x_0)\) 和 \((y_0-y)\) 均为整数，所以一定存在一个整数 \(n\) 使得 \(n(a/d)=y_0-y\)，可得 \(y=y_0-n(a/d)\)，同理 \(x=x_0+n(b/d)\)。对于这个结果可以带回原方程中并尝试化简即可验证其正确性。

扩展欧几里得算法

求解上述方程的关键是找到一个特解。因为该特解和求 \(GCD\) 有关，所以求特解也用到了欧几里得求 \(GCD\) 的思路，成为扩展欧几里得算法。下面阐述具体步骤：

1. 对于方程 \(ax+by=c\) ，先用扩欧求 \(ax+by=gcd(a,b)\) 的解，代码如下。

inline ll extend_gcd(ll a, ll b, ll &x, ll &y){
    if(!b) {x = 1, y = 0; return a;}
    ll d = extend_gcd(b, a%b, y, x);
    y -= a/b * x;
    return d;
}

首先，根据欧几里得算法的性质，总有一刻使得 \(a_2x_2 + 0y_2 = a_2\) ，并且此时剩下的 \(a_2\) 即为 \(gcd(a,b)\)。于是可求得 \(x_2=1,y_2=0\)。再退一个狮子看：根据欧几里得算法的过程得：

\[\begin{split} b_1x_2+(a_1\%b_1)y_2&=a_2\\ b_1x_2+[a_1-b_1\cdot\frac{a_1}{b_1}]y_2&=a_2\\ b_1x_2+a_1y_2-b_1\cdot\frac{a_1}{b_1}y_2&=a_2\\ b_1(x_2-\frac{a_1}{b_1}y_2)+a_1y_2&=a_2\\ \end{split} \]

又 \(b_1y_1+a_1x_1=a_2\)，所以上下对应可以得到递推式 \(y_1=x_2-\frac{a_1}{b_1}y_2，x_1=y_2\)，于是便有了如上代码。

2. 但有了上面的操作还不够，因为咱只求了 \(c=d=gcd(a,b)\) 时的特解，不过也很简单了，只需要在狮子左右同乘 \(c/d\) 即可。

3. 题目通常会求最小正整数解，所以得出的解还要进行一步操作： \((x\%(b/d)+b/d)\%(b/d)\)

同余

假如现在有个狮子 \(a\ mod\ M=b\)，其中涉及到的所有数都为整数。那么他就可以写作 \(a\equiv b\ \pmod M\)。嗯，就这么简单。

逆元

在普通的等号连接的狮子里，我们可以通过移项时变号来保证左右相等，对于同余式也存在这么一种“变号”方式保证同余成立。

如果狮子 \(ax \equiv 1 \pmod b\) 成立，那么我们称 \(x\) 是 \(a\mod b\) 的逆元，记作 \(a^{-1}\)