[学习笔记] 树上差分 - 图论
前置知识:树,LCA,前缀和与差分
边差分
这个名字是在网上看到的,不理解为什么要叫这么一个名字,可能是因为它与 树链修改 有关。当然,用于 树链修改 单点查询 非常方便~
看这个图,该图是以点1为根进行DFS的。如果我们要把从3 -> 4这条树链上所有的点统统加上1,可以都转化为对到根节点的树链的操作,我们可以把3 -> 1全加上1,4 -> 1全加上1,发现2多加了1,1多加了2,所以2 - > 1减掉1,1 -> 1减掉1。这并不难想。但是如何实现把某一结点到根节点上所有的点进行权值加减呢?
联想到差分,我们可以分树链差分,对于3 -> 1链上的点,将这条链的开始(节点3)+1,将这条链的末尾(节点0)-1,最后查询时,把这个节点的子节点权值和自身权值相加即为最终权值。
画图太难用了!
树链修改 单点查询
看一道例题:[JLOI2014] 松鼠的新家
一道典型的树链修改 单点查询 + LCA题目。需要注意,我们在对每段路径进行操作的时候,前一个路径的尾端点与后一个路径的首端点多放了一个糖果,而且,最后一段路径的右端点是不用放糖果的,所以要统统减掉。
#include<bits/stdc++.h> using namespace std; #define min(x,y) (in[x]<in[y])?x:y const int N = 3e5 + 1; int n, ord[N], in[N], st[19][N], tot, w[N]; vector<int> G[N]; bitset<N> flag; inline void dfs1(int k, int fa){ st[0][in[k] = ++tot] = fa; for(int v : G[k]) if(!in[v]) dfs1(v, k); } inline void dfs2(int k){ flag[k] = 1; for(int v : G[k]) if(!flag[v]) dfs2(v), w[k] += w[v]; } inline int lca(int a, int b){ if(a == b) return a; if((a = in[a]) > (b = in[b])) swap(a, b); int k = __lg(b-a++); return min(st[k][a], st[k][b-(1<<k)+1]); } int main(){ ios::sync_with_stdio(0), cin.tie(0), cout.tie(0); cin>>n; for(int i=1; i<=n; ++i) cin>>ord[i]; for(int i=1, a, b; i<n; ++i){ cin>>a>>b; G[a].push_back(b), G[b].push_back(a); } dfs1(1, 0); for(int i=1; i<=__lg(n); ++i) for(int j=1; j<=n-(1<<i)+1; ++j) st[i][j] = min(st[i-1][j], st[i-1][j+(1<<i-1)]); for(int i=1; i<n; ++i){ int a = ord[i], b = ord[i+1]; int fa = lca(a, b); // printf("lca(%d, %d) = %d\n", a, b, fa); ++w[a], ++w[b], --w[fa], --w[st[0][in[fa]]]; } dfs2(1); for(int i=1; i<=n; ++i){ if(i != ord[1]) --w[i]; cout<<w[i]<<'\n'; } return 0; }
树链修改 子树和查询
再来看这道题DFS 序 3,树上差分 1
主要用到边差分思想,类比树状数组区间修改区间查询,将子树和用差分数组表示出来即可。
需要维护两个树状数组, 维护 , 维护 。
树链修改即为( ):
查询单点为:
查询子树和即为:
#include<bits/stdc++.h> using namespace std; #define lowbit(x) ((x)&(-x)) #define min(x,y) in[x]<in[y]?x:y #define ll long long const int N = 1e6 + 1; int n, m, r, lg[N], w[N], st[20][N], in[N], out[N], cnt; ll t1[N], t2[N], deep[N]; vector<int> G[N]; inline ll rd(){ ll x = 0, f = 1; char ch = getchar(); while(ch<'0' || ch>'9') f = ch='-'?-1:1, ch = getchar(); while(ch>='0' && ch<='9') x = (x<<1) + (x<<3) + (ch^48), ch = getchar(); return x*f; } inline void wt(ll k){ if(k<0) putchar('-'), k=-k; if(k/10>0) wt(k/10); putchar(k%10 + '0'); } inline void modify1(int k, ll w){ if(!k) return; for(int i=k; i<=n; i+=lowbit(i)) t1[i] += (ll)w; } inline void modify2(int k, ll w){ if(!k) return; for(int i=k; i<=n; i+=lowbit(i)) t2[i] += (ll)w; } inline ll query1(int k){ if(!k) return 0ll; ll ans = 0ll; for(int i=k; i>0; i-=lowbit(i)) ans += t1[i]; return ans; } inline ll query2(int k){ if(!k) return 0ll; ll ans = 0ll; for(int i=k; i>0; i-=lowbit(i)) ans += t2[i]; return ans; } inline void dfs(int k, int f){ st[0][in[k] = ++cnt] = f; modify1(in[k], w[k]), modify1(in[f], -w[k]); modify2(in[k], w[k]*deep[k]), modify2(in[f], -w[k]*deep[f]); for(int v : G[k]) if(!in[v]) deep[v] = deep[k]+1, dfs(v, k); out[k] = cnt; } inline int lca(int a, int b){ if(a == b) return a; if((a = in[a]) > (b = in[b])) swap(a, b); int k = lg[b-a++]; return min(st[k][a], st[k][b-(1<<k)+1]); } signed main(){ ios::sync_with_stdio(0), cin.tie(0), cout.tie(0); n=rd(), m=rd(), r=rd(); lg[0] = -1; for(int i=1; i<=n; ++i){ lg[i] = lg[i>>1] + 1; w[i]=rd(); } for(int i=1, a, b; i<n; ++i){ a=rd(), b=rd(); G[a].push_back(b), G[b].push_back(a); } deep[r] = 1, dfs(r, 0); for(int i=1; i<=lg[n]; ++i) for(int j=1; j<=n-(1<<i)+1; ++j) st[i][j] = min(st[i-1][j], st[i-1][j+(1<<i-1)]); for(int i=1, a, b, opt; i<=m; ++i){ ll c; opt=rd(), a=rd(); if(opt == 1){ b=rd(), c=rd(); int fa = lca(a, b); modify1(in[a], c), modify2(in[a], c*deep[a]); modify1(in[b], c), modify2(in[b], c*deep[b]); modify1(in[fa], -c), modify2(in[fa], -c*deep[fa]); modify1(in[st[0][in[fa]]], -c), modify2(in[st[0][in[fa]]], -c*deep[st[0][in[fa]]]); }else if(opt == 2) wt(query1(out[a]) - query1(in[a]-1)), putchar('\n'); else wt(query2(out[a]) - query2(in[a]-1) - (deep[a]-1)*(query1(out[a]) - query1(in[a]-1))), putchar('\n'); } return 0; }
本文作者:XiaoLe_MC
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