3.G. Vlad and the Mountains2024-06-28

G. Vlad and the Mountains

https://codeforces.com/contest/1851/problem/G

离线+并查集

首先观察路径 $i \to j \to k$ 其必须满足如下条件：

$h_{j} - h_{i} \leq e$
$h_{k} - h_{j} \leq e - h_{j} + h_{i} ⟺ h_{k} - h_{i} \leq e$

不难发现我们的路径最后的变化量只和起点和终点的高度有关。

那么要以 $e$ 为能量初值，从 $a \to b$ 的一条合法的路径，必然满足经过的所有点 $k$ 都满足 $h_{k} \leq h_{a} + e$ 。

容易想到考虑点权的并查集的 trick，想到离线处理，把询问按 $h_{a} + e$ 和点权 $h_{i}$ 都从小到大排，每次加入一个满足 $h_{i} \leq h_{a} + e$ 的点，合并所有和 $i$ 相邻且已经加入的点的边。当 $a, b$ 位于同一个连通块的时候，就一定存在一个满足条件的合法的路径从 $a \to b$ 。

Code

#include <bits/stdc++.h>

using LL = long long;

void solve() {
	int n, m;
	std::cin >> n >> m;
	std::vector<std::vector<int>> g(n + 1);
	std::vector<std::array<int, 2>> p(n + 1);
	for (int i = 1; i <= n; i++) {
		std::cin >> p[i][0];
		p[i][1] = i;
	}
	while (m--) {
		int u, v;
		std::cin >> u >> v;
		g[u].push_back(v);
		g[v].push_back(u);
	}
	int q;
	std::cin >> q;
	std::vector<std::array<int, 4>> qry(q + 1);
	std::vector<int> ans(q + 1);
	for (int i = 1; i <= q; i++) {
		int a, b, e;
		std::cin >> a >> b >> e;
		qry[i][0] = p[a][0] + e, qry[i][1] = a, qry[i][2] = b, qry[i][3] = i;
	}
	std::sort(qry.begin() + 1, qry.end());
	std::sort(p.begin() + 1, p.end());
	std::vector<int> f(n + 1);
	for (int i = 1; i <= n; i++) {
		f[i] = i;
	}
	std::function<int(int)> find = [&](int x) -> int {
		return x == f[x] ? x : f[x] = find(f[x]);
	};
	std::vector<bool> st(n + 1, false);
	auto add = [&](int u) {
		st[u] = true;
		for (auto v : g[u]) {
			if (st[v]) {
				f[find(v)] = find(u);
			}
		}
	};
	for (int i = 1, j = 1; i <= q; i++) {
		while (j <= n && p[j][0] <= qry[i][0]) {
			add(p[j++][1]);
		}
		ans[qry[i][3]] = find(qry[i][1]) == find(qry[i][2]);
	}	
	for (int i = 1; i <= q; i++) {
		std::cout << (ans[i] ? "YES" : "NO") << '\n';
	}
}

int main() {
    std::ios::sync_with_stdio(false);
    std::cin.tie(nullptr);

    int t;
    std::cin >> t;
    while (t--) {
    	solve();
    }


    return 0;
}