一些数据结构维护手法，好题

一些数据结构维护手法，好题

[蓝桥杯 2022 国 AC] 替换字符

发现字母的变换有复合性质，可以用线段树维护一个 $lazy[26]$ 数组表示这个区间的每一个字母变成了那一个。

当两个标记合并的时候有：$nwlazy[i]=blazy[alazy[i]]$，相当于标记信息的复合。

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One Occurrence

对于这种某个数只出现一次的经典题，考虑一个经典的 trick，我们维护一个 $pre[i]$ 表示 $a_i$ 上一次出现的位置，然后 $suf[i]$ 表示 $a_i$ 下一次出现的位置。

我们发现若 $a_i$ 在区间 $[l,r]$ 中只出现了一次 $⟺pre[i]<lorsuf[i]>r$。

我们发现这样我们不好处理，因为多了个 $suf$ 的情况，我们不难想到如果能固定 $r$，是不是问题就好解决了。

利用扫描线思想，我们把询问离线下来，扫 $r$, 然后去维护 $l$ 的答案。

我们用一个线段树，维护区间 $pre[i]$ 的最小值。

对于扫到某个位置 $r$，我们把 $r$ 这个位置在线段树中的值改为 $pre[r]$，然后注意此时还要把 $pre[r]$ 位置的值改为 $INF$，因为此时如果 $pre[r]$ 位置的数的 $pre$ 是满足条件的，但又因为在 $r$ 处还出现了一次，所以此时他在所有以 $r$ 为右端点的询问中，一定是不合法的，所以我们要改为 $INF$。

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A Simple Task

题目要求我们对区间的所有字母排序（升序或者降序），我们不难发现其实本质就是按 $26$ 个字母的顺序依次给区间赋值。

每次区间修改就是遍历 $26$ 个字母，在其对应的线段树上修改。

所以我们可以用线段树维护每种字母的出现次数。

故我们开 $26$ 个线段树，每颗线段树维护对应字母的出现次数，然后支持区间赋值即可。

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laoya 的有根树

很容易想到离线，我们可以先把整颗树建好，那么增加一个点和删除一个点，都相当于在树上修改权值，当一个叶子被删除的时候，其到根结点上的整条链上的 $g$ 值都要减少，增加也是同理。

对于 $g(i)\times g(j)$ 的最大值，我们不难想到当 $g(i),g(j)$ 取最大两个，或者取最小两个的时候可以得到最优解。

所以我们不难想到维护树上的最大，次大，最小，次小。

而且还要支持子树查询，链上修改。

我们很容易想到树链剖分+线段树维护。（这里要注意边界，例如当子树内只有一个数的时候，次大和次小是不存在的，要弄成无穷，当增加或者删除的时候，要注意边界的修改）

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数组划分

考虑没有修改怎么做，我们可以仿照最大字段和的思路，令 $f_i$ 为以 $i$ 为右端点的最大美值，$g_i$ 表示前缀 $1\backsim i$ 的 $f_i$ 的最大值。

不难得到如下转移方程：

• $f_i=max(f_{i-1}+a_i,f_{i-2}+3\times a_i-2\times a_{i-1},a_i,3\times a_i-2\times a_{i-1})$
• $g_i=max(g_{i-1},f_i)$

然后考虑修改，这是一个经典的动态 DP，我们把 DP 的转移看成一个$max+$矩阵，直接用线段树维护即可。

$\left[\begin{array}{ccccc}{f}_{i-2}& f_{i-1}& g_{i-1}& 0& 0\end{array}\right]\times \left[\begin{array}{ccccc}-inf& 3a_i-2a_{i-2}& 3a_i-2a_{i-2}& -inf& -inf\\ 0& a_i& a_i& -inf& -inf\\ -inf& -inf& 0& -inf& -inf\\ -inf& a_i& a_i& 0& -inf\\ -inf& 3a_i-2a_{i-1}& 3a_i-2a_{i-1}& -inf& 0\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccccc}{f}_{i-1}& f_i& g_i& 0& 0\end{array}\right]$

每次单点修改，相当于修改与 $a_i$ 有关的系数矩阵：$A_i$ 和 $A_{i+1}$。

最后答案就为：$\left[\begin{array}{ccccc}-inf& -inf& -inf& 0& 0\end{array}\right]\times A$（其中 $A$ 即为整个区间的矩阵）。