沙盘游戏（2017绍兴市第十五届少儿信息学竞赛复赛试题）

沙盘游戏

Ivy是如此地喜欢编程，以至于在面对游戏时也是如此。在沙盘游戏中有一个巨大的方形沙盘（长方形或者正方形），该沙盘被分隔成边长为1的小方格，每个小方格内有一个整数。沙盘玩家需要在沙盘中圈出一个方形（长方形或者正方形都可以）的区域（必须沿着小方格的边界划线，不能穿过小方格的内部），目标是争取被圈区域内的整数之和最大。
为了描述方便，Ivy把这个沙盘用n*m个整数来表示，每个整数所在位置表示沙盘中一个边长为1的小方格。
Ivy现在需要编程解决这样一个问题：在n*m（n行m列）个整数中选择一个x*y（x行y列）的方形区域（x最大可达n，y最大可达m），使得这x*y个整数之和是所有可以选择的方形区域中最大的，并输出这个最大总和值。

 

输入

第一行包含n和m二个整数，中间用一个空格分隔，分别表示原始方形区域中所包含的行数和列数。
下面有n行，每行m个整数（每个整数的范围是-200到200）组成的数据。

 

输出

一行一个整数，表示某个被圈出的方形区域中所有位置上整数之和，该值必须是所有可以圈出的方形区域所对应整数和中，总和最大的那个,该值确保不超过106 。

n,m<280;

样例输入

3  3  
10 -21 9
7 8 4 
-6 1 0

 

样例输出

19

 

(n*m)^2的复杂度肯定是不行的，这就需要优化一下了；

首先维护一个二维前缀和；然后遍历x坐标的所有区间（n^2)

然后遍历Y轴（m），每次维护一个大于零的底边;也就是说如果Y遍历的时候得到的子矩阵和小于零，更新底边，（下次的时候再加前面没意义了）

所以这样就优化到（n*n*m)的复杂度

代码呈上；

#include <bits/stdc++.h>
#define maxn 1000005
using namespace std;
typedef long long ll;
using namespace std;
int main()
{
    int s[300][300];
    int a[300][300];
    memset(s,0,sizeof(s));
    int n,m;
    scanf("%d%d",&n,&m);
    for(int i=1; i<=n; i++)
    {
        for(int j=1; j<=m; j++)
        {
            scanf("%d",&a[i][j]);
            s[i][j]+=a[i][j];
            s[i][j]+=s[i-1][j];
            s[i][j]+=s[i][j-1];
            s[i][j]-=s[i-1][j-1];
        }
    }
    /*for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        for(int j=1;j<=m;j++)
        {
            printf("%d  ",s[i][j]);
        }
        printf("\n");
    }
    */
    int maxx=-1e8;
    for(int i=1; i<=n; i++)
    {
        for(int j=0; j<i; j++)
        {
            int rec=0;
            for(int w=1; w<=m; w++)
            {
                if(s[i][w]-s[j][w]-s[i][rec]+s[j][rec]>0)
                {
                    if(s[i][w]-s[j][w]-s[i][rec]+s[j][rec]>maxx)
                    {
                        maxx=s[i][w]-s[j][w]-s[i][rec]+s[j][rec];
                        //printf("%d %d %d %d\n",i,j,w,rec);
                    }
                }
                else
                {
                    if(s[i][w]-s[j][w]-s[i][rec]+s[j][rec]>maxx)
                    {
                        maxx=s[i][w]-s[j][w]-s[i][rec]+s[j][rec];
                        //printf("%d %d %d %d\n",i,j,w,rec);
                    }
                    rec=w;
                }
            }
        }
    }
    printf("%d\n",maxx);
    return 0;
}