pytorch 深度学习之自动微分

自动微分

深度学习框架通过自动计算导数，即自动微分（automatic differentiation）来加快求导。 实际中，根据我们设计的模型，系统会构建一个计算图（computational graph）， 来跟踪计算是哪些数据通过哪些操作组合起来产生输出。 自动微分使系统能够随后反向传播梯度。 这里，反向传播（backpropagate）意味着跟踪整个计算图，填充关于每个参数的偏导数。

例如，相对 \(y = 2{x^T}x\) 关于向量 \(x\) 求导，首先创建一个变量 \(x\) 并为其分配一个初始值：

import torch

x = torch.arange(4.0)
x

tensor([0., 1., 2., 3.])

需要一个地方来存储梯度。重要的是，我们不会在每次对一个参数求导时都分配新的内存。 因为我们经常会成千上万次地更新相同的参数，每次都分配新的内存可能很快就会将内存耗尽。 注意，一个标量函数关于向量 \(x\) 的梯度是向量，并且与 \(x\) 具有相同的形状。

x.requires_grad_(True)  # 等价于x=torch.arange(4.0,requires_grad=True)
x.grad  # 默认值是None

y = 2 * torch.dot(x,x)
y

tensor(28., grad_fn=<MulBackward0>)

\(x\) 是一个长度为 4 的向量，计算 \(x\) 和 \(x\) 的点积，得到了我们赋值给y的标量输出。 接下来，我们通过调用反向传播函数来自动计算 \(y\) 关于 \(x\) 每个分量的梯度，并打印这些梯度：

y.backward()
x.grad

tensor([ 0.,  4.,  8., 12.])

函数 \(y = 2{x^T}x\) 关于 \(x\) 的梯度应该是 \(4x\)，验证：

x.grad == 4 * x

tensor([True, True, True, True])

# 在默认情况下，PyTorch会累积梯度，我们需要清除之前的值
x.grad.zero_()
y = x.sum()
y.backward()
x.grad

tensor([1., 1., 1., 1.])

非标量变量的反向传播

当 \(y\) 不是标量时，向量 \(y\) 关于向量 \(x\) 的导数的最自然解释是一个矩阵。对于高阶和高维的 \(y\) 和 \(x\)，求导的结果可以是一个高阶张量。

# 对非标量调用backward需要传入一个gradient参数，该参数指定微分函数关于self的梯度。
# 在我们的例子中，我们只想求偏导数的和，所以传递一个1的梯度是合适的
x.grad.zero_()
y = x * x
# 等价于y.backward(torch.ones(len(x)))
y.sum().backward()
x.grad

tensor([0., 2., 4., 6.])

分离计算

假设 \(y\) 是作为 \(x\) 的函数计算的，而 \(z\) 则是作为 \(y\) 和 \(x\) 的函数计算的。 想象一下，我们想计算 \(z\) 关于 \(x\) 的梯度，但由于某种原因，我们希望将 \(y\) 视为一个常数， 并且只考虑到 \(x\) 在 \(y\) 被计算后发挥的作用。
在这里，我们可以分离 \(y\) 来返回一个新变量 \(u\)，该变量与 \(y\) 具有相同的值,但丢弃计算图中如何计算 \(y\) 的任何信息。 换句话说，梯度不会向后流经 \(u\) 到 \(x\)。 因此，下面的反向传播函数计算 \(z=u*x\) 关于 \(x\) 的偏导数，同时将 \(u\) 作为常数处理， 而不是 \(z=x*x*x\) 关于 \(x\) 的偏导数。

x.grad.zero_()
y = x * x
u = y.detach();
z = u * x

z.sum().backward()
x.grad == u

tensor([True, True, True, True])

由于记录了 \(y\) 的计算结果，我们可以随后在 \(y\) 上调用反向传播， 得到 \(y=x*x\) 关于的 \(x\) 的导数，即 \(2*x\)。

x.grad.zero_()
y.sum().backward()
x.grad == 2 * x

tensor([True, True, True, True])

Python 控制流的梯度计算

在下面的代码中，while 循环的迭代次数和 if 语句的结果都取决于输入 a 的值:

def f(a):
    b = a * 2
    while b.norm() < 1000:
        b *= 2
    if b.sum() > 0:
        c = b
    else:
        c = 100 * b
    
    return c

a = torch.randn(size=(),requires_grad=True)
d = f(a)
d.backward()

a.grad == d / a

tensor(True)