2-3 指数加权平均数

指数加权平均数（ Exponentially weighted averages）

指数加权平均，在统计中也叫做指数加权移动平均。

下面列举出表示伦敦一年之中的温度：

 

如果要计算趋势的话，也就是温度的局部平均值，或者说移动平均值：

先使：${v_0} = 0$，然后计算：

${v_1} = 0.9{v_0} + 0.1{\theta _1}$

${v_2} = 0.9{v_1} + 0.1{\theta _2}$

依次类推：

${v_t} = 0.9{v_{t - 1}} + 0.1{\theta _t}$

将移动平均值即每日温度的指数加权平均值画出来的效果是：

上面的计算更一般的形式是：

${v_t} = \beta {v_{t - 1}} + (1 - \beta ){\theta _t}$

${v_t}$可以理解为大概是$\frac{1}{{(1 - \beta )}}$ 的每日温度，例如$\beta  = 0.9$，可以理解为这是十天的平均值，也就是上图红线部分。

如果$\beta$接近于1，比如0.98，则$\frac{1}{{(1 - 0.98)}}$，大概计算过去 50 天的温度，这时作图可以得到绿线：

这种情况下曲线要平坦一些，原因在于你多平均了几天的温度，所以这个曲线，波动更小，更加平坦，缺点是曲线进一步右移，因为现在平均的温度值更多，要平均更多的值，指数加权平均公式在温度变化时，适应地更缓慢一些，所以会出现一定延迟。$\frac{1}{{(1 - 0.98)}}$，相当于给前一天的值加了太多权重，只有 0.02 的权重给了当日的值。

如果$\frac{1}{{(1 - 0.5)}}$，平均了两天的温度，这时作图黄线所示：

 

由于仅平均了两天的温度，平均的数据太少，所以得到的曲线有更多的噪声，有可能出现异常值，但是这个曲线能够更快适应温度变化。

参数$\beta$，是一个很重要的参数，可以取得稍微不同的效果，往往中间有某个值效果最好，在本例中红线比起绿线和黄线更好地平均了温度。

理解指数加权平均数（Understanding exponentially weighted averages）

将公式${v_t} = 0.9{v_{t - 1}} + 0.1{\theta _t}$倒着写：

${v_{100}} = 0.9{v_{99}} + 0.1{\theta _{100}}$

${v_{99}} = 0.9{v_{98}} + 0.1{\theta _{99}}$

${v_{98}} = 0.9{v_{97}} + 0.1{\theta _{98}}$

依次类推。。。

进一步展开可以表示为：

${v_{100}} = 0.1{\theta _{100}} + 0.1*0.9{\theta _{99}} + 0.1*{(0.9)^2}{\theta _{98}} + 0.1*{(0.9)^3}{\theta _{97}} + 0.1*{(0.9)^4}{\theta _{96}} + ......$

第 100 天计算的数据是一个总和，包括100号数据，99号数据，98号数据等等。

假设我们有一组数据，例如100天中每天的温度，画图表示：

然后我们构建一个指数衰减函数，从 0.1 开始，到$0.1*0.9$，到$0.1*{(0.9)^2}$，以此类推，所以就有了这个指数衰减函数，画图表示：

此时计算${v_{100}}$，只需要将两组数据对应相乘再求和即可。所有的系数相加起来为 1 或者逼近 1，我们称之为偏差修正。

需要平均多少天的温度的计算思路：

${(0.9)^{10}} \approx 0.35$，这个值大概是$\frac{1}{e}$，也就是说：

$\varepsilon {\rm{ = }}0.1$，${(1 - \varepsilon )^{\frac{1}{{(1 - \varepsilon )}}}} \approx \frac{1}{e}$大约是 0.34， 0.35，换句话说， 10 天后，曲线的高度下降到$\frac{1}{3}$相当于在峰值的$\frac{1}{e}$。

所以当$\beta  = 0.9$，也即$\varepsilon  = 1 - \beta $时只关注了过去 10天的温度，因为 10 天后，权重下降到不到当日权重的三分之一。

所以估算大约平均多少天的温度时，我们使用公式：$\frac{1}{{1 - \beta }}$

不过这只是思考的大致方向，并不是正式的数学证明。

在实际计算时，我们可以使用：$v: = \beta v + (1 - \beta ){\theta _t}$

指数加权平均数公式的好处之一在于，它占用极少内存，电脑内存中只占用一行数字而已，然后把最新数据代入公式，不断覆盖就可以了。

计算指数加权平均数也只占用单行数字的存储和内存，当然它并不是最好的，也不是最精准的计算平均数的方法。如果你要计算移动窗，你直接算出过去 10 天的总和，过去 50 天的总和，除以 10 和 50 就好，如此往往会得到更好的估测。但缺点是，如果保存所有最近的温度数据，和过去 10 天的总和，必须占用更多的内存，执行更加复杂，计算成本也更加高昂。